幾何命題怎麼畫
這一講我向大家介紹《幾何原本》第4卷“與圓有關的直線圖形的做法”中命題6-命題9內容：
命題6：作給定圓的內接正方形。
已知ABCD是給定圓。
目標：作圓ABCD的內接正方形。
證明:
1、作圓ABCD的兩條直徑AC和CD，且這兩條直徑所夾的角為直角。
2、連線AB、BC、CD、DA。
3、設E是圓ABCD的圓心。
4、因為BE=ED，EA是公共邊，角AEB=角AED=直角，所以AB=AD。（第1卷 命題4）
5、同理BC=BA，CB=CD，所以AB=AD=CB=CD。
6、因為線段BD是圓ABCD的直徑，所以圓弧BAD是半圓，角BAD是直角（第3卷 命題31）。
7、同理，角ABC、BCD、CDA也是直角。
8、因此四邊形ABCD是正方形（第1卷 定義22），且內接於圓ABCD。
證明完畢。
以上是作圖的原理，下面我將作圖的整個過程展示出來：
步驟1
步驟2
步驟3
步驟4
步驟5
步驟6
命題7：作給定圓的外切正方形。
已知ABCD是給定圓。
目標：作圓ABCD的外切正方形。
證明:
1、作圓ABCD的兩條直徑AC和BD，且這兩條直徑所夾的角為直角。
2、分別過A、B、C、D作圓ABCD的切線FG、GH、HK和KF。
3、因為FG與圓ABCD相切於A，又EA是圓心E和切點A的連線，所以A處的角為直角。（第3卷 命題18）
4、同理，點B、C和D處的角也為直角。
5、因為角AEB是直角，角EBG也是直角，所以GH平行於AC。（第1卷 命題29）
6、同理AC也平行於FK，所以GH也平行於FK。（第1卷 命題30）
7、同理，可證明GF平行於BD，BD平行於HK。
8、所以GHKF、GHCA、ACKF、GBDF、BHKD是平行四邊形，於是GF=HK，GH=FK。（第1卷 命題34）
9、又因為AC=BD，AC=GH=FK，BD=GF=FK，所以平行四邊形GHKF是等邊的。
10、因為GBEA是平行四邊形，且角AEB是直角，所以角AGB也是直角。（第1卷 命題34）
11、同理，可證角F=角K=角H=直角。
12、因為平行四邊形FGHK四條邊相等，且四個角都是直角，所以它是正方形（第1卷 定義22），且外切於圓ABCD。
證明完畢。
命題8：作給定正方形的內切圓。
已知ABCD是給定正方形。
目標：作正方形ABCD的內切圓。
證明:
1、分別作AD和AB的二等分點E和F。（第1卷 命題10）
2、過點E作EH平行於AB或者CD，過F作FK平行於AD或BC。（第1卷 命題31）
3、於是四邊形AFKD、FBCK、ABHE、EHCD、AFGE、FBHG、GHCK、EGKD是平行四邊形，顯然它們的對邊彼此相等。（第1卷 命題34）
4、因為AD=AB，AE是AD的一半，AF是AB的一半，所以AE=AF。
5、平行四邊形AFGE對邊彼此相等，所以FG=EG。同理，GH=GK=GE=GF。
6、因為E、F、H和K處的角都是直角，因此，以G為圓心，GE、GF、GH或GK為半徑作圓，經過其他點，並且它與直線AB、BC、CD和DA都相切。
7、又因為如果圓與AB、BC、CD或DA相交，則過圓的直徑的端點且與直徑成直角的直線落在圓內，這在之前已經證明是不可能的。（第3卷 命題16）
8、所以，以G為圓心，GE、GF、GH或GK為半徑作圓不會與AB、BC、CD或DA中的任意一條直線相交。
9、所以，這個圓與它們相切，且內切於正方形ABCD。
證明完畢。
命題9：作給定正方形的外接圓。
已知ABCD是給定正方形。
目標：作正方形ABCD的外接圓。
證明:
1、連線AC、BD，設其交點為E。
2、因為AB=AD，AC=AC，BC=DC，所以三角形ABC與三角形ADC全等，於是角DAC=角BAC。（第1卷 命題8）
3、因此角DAB被AC平分，同理，角ABC、BCD和CDA也分別被AC、DB平分。
4、因為角DAB=角ABC，角EAB等於角DAB的一半，角EBA等於角ABC的一半，所以角EAB=角EBA，因此EA=EB。（第1卷 命題6）
5、同理，EA、EB與EC、ED彼此相等，所以EA=EB=EC=ED。
6、因此，以E為圓心，以線段EA、EB、EC、ED之一為半徑的圓，經過其他點，且外接於正方形ABCD。
證明完畢。
好了，這一講就到這裡了。
下一講，我將向大家介紹《幾何原本》是如何只用尺規作圓的內接正五邊形的。
我是
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