49個數中合是什麼數
在高三的時候，丹尼爾-拉森（Daniel Larsen）證明了一個關於卡邁克爾數的關鍵定理，卡邁克爾數和素數十分相似，所以它們被稱為偽質數。"一位數學家說："這將是一篇任何數學家都會感到自豪的論文。
一個穿著藍色馬球衫、戴著眼鏡的少年。在他發表了他的證明之後，丹尼爾-拉森作為數學專業的學生進入了麻省理工學院。
當丹尼爾-拉森上中學時，他開始設計填字遊戲。他不得不把這個愛好放在他的其他興趣之上：國際象棋、程式設計、鋼琴、小提琴。在贏得地區比賽後，他兩次獲得了參加全國拼寫大賽的資格。拉森的母親評價他的兒子如是說：“他專注於某件事時，就這樣砰、砰、砰，直到他成功。他的第一個填字遊戲被各大報紙拒絕，但他堅持了下來，最終闖關成功。迄今為止，他保持著在《紐約時報》上發表填字遊戲的最年輕者的記錄，當時他只有13歲。他非常執著。”
儘管如此，拉森最近的痴迷還是有所不同，“比他的大多數其他專案更長、更強烈，”拉森的母親說。在超過一年半的時間裡，拉森無法停止對一個數學問題的思考。
這個數學問題源於一個更廣泛的問題，一個被著名數學家高斯認為是數學中最重要的問題：如何區分質數，一個只能被1和它本身整除的數，和合數。數百年來，數學家們一直在尋求一種有效的方法來做到這一點。這個問題在現代密碼學中也變得很重要，因為今天一些最廣泛使用的密碼系統涉及到對巨大的質數進行運算。
一個多世紀以前，在尋求快速、強大的質數測試的過程中，數學家們偶然發現了一群麻煩製造者，這些數字會欺騙測試，看起來像是質數，但又不是。這些偽質數被稱為卡邁克爾數，一直特別難以掌握。例如，直到20世紀90年代中期，數學家才證明有無限多的偽質數。能否進一步說明它們在數軸上的分佈情況，則是一個更大的挑戰。
然後，拉森帶著一個關於這個問題的新證明（下圖論文）出現了，這個證明受到了最近在數論的一個不同領域的劃時代工作的啟發。當時，他才17歲。
靈感
在印第安納州布魯明頓長大的拉森一直被數學所吸引。他的父母都是數學家，在他和他的姐姐小的時候就開始接觸這個學科。 他的姐姐現正在攻讀讀數學博士學位。拉森母親、印第安納大學教授回憶說，當拉森3歲的時候，他開始問她關於無窮大的性質的哲學問題，“我就在想，這孩子有一個數學頭腦。”
然後幾年前，大約在拉森沉浸在他的拼寫和填字遊戲專案中的時候，他看到了一部關於
華裔數學家
張益唐的紀錄片，張益唐原是一位不知名的數學家，他在2013年證明了一個里程碑式的結果，為連續質數之間的差距設定了一個上限，從而從默默無聞中崛起。拉森受到了啟發，他無法停止思考數論，以及張和其他數學家仍希望解決的相關問題：孿生質數猜想，這個
猜想指出有無窮多對僅相相差2的素數。
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拉森不願意放過一個關於卡邁克爾數的老問題。他說：“這只是我的固執追求”。
張益唐的工作表明，有無限多的質數對相差不到7000萬，之後其他人也加入進來，進一步降低這一界限。幾個月內，數學家、
牛津大學教授、
詹姆斯·梅納德（
James Maynard）和著名華裔數學家，菲爾茨獎獲得者
陶哲軒獨立地證明了一個關於質數之間差距的更強有力的宣告。此後，這一差距縮小到了246。
拉森想了解梅納德和陶哲軒的工作所依據的一些數學知識，“但這對我來說幾乎是不可能的，”他說。他們的論文太複雜了。拉森試圖閱讀相關的工作，但發現也是難以理解的。他一直在努力，從一個結果跳到另一個結果，直到最後，在2021年2月，他看到了一篇他認為既美麗而又易懂的論文。
它的主題是：卡邁克爾數，這些奇怪的合數有時會偽裝成素數。
除質數外的所有數
17世紀中葉，法國數學家皮埃爾-德-費馬給他的朋友和知己弗雷尼克-德-貝西寫了一封信，他在信中陳述了後來被稱為 “小定理 ”的內容。如果N是一個質數，那麼b^N-b總是N的倍數，不管b是什麼。例如，7是一個質數，因此，2^7-2（等於126）是7的倍數。同樣，3^7-3是7的倍數，等等。
數學家們看到了對一個給定的數字是質數還是合數進行完美測試的潛力。他們知道，如果N是質數，那麼b^N-b總是N的倍數，如果反過來也是如此呢？也就是說，如果b^N-b是所有b值的N的倍數，那麼N一定是質數？
結果是，在非常罕見的情況下，N可以滿足這個條件，但仍然是合數。最小的這種數字是561。對於任何整數b，b^561-b總是561的倍數，儘管561不是質數。像這樣的數是以數學家羅伯特-卡邁克爾（Robert Carmichael）的名字命名的，他通常被認為是在1910年發表了第一個案例（儘管捷克數學家瓦茨拉夫-希默卡（Václav imerka）在1885年就獨立發現了案例）。
一個十幾歲的孩子坐在那裡看筆記本。當拉森完成他的證明後，他把草稿發給了數論界的一些頂尖人物。令他驚訝的是，他們讀過後都給予了回覆。
數學家們想要更好地理解這些與數論中最基本的物件——質數——如此相似的數。實際上，在1899年，比卡邁克爾的結果早了十年，另一位數學家阿爾溫-科塞爾特（
Alwin Korselt
）已經提出了一個同等的定義。他只是不知道是否有任何數字符合這個標準。
根據科塞爾特的標準，一個數字N是一個卡邁克爾數字，當且僅當它滿足三個屬性。首先，它必須有一個以上的質因數。第二，沒有質因數可以重複。第三，對於每一個除以N的質數p，p-1也除以N-1。再考慮一下561這個數字。它等於3×11×17，所以它顯然符合科塞爾特列表中的前兩個屬性。為了顯示最後一個屬性，從每個質因數中減去1，得到2、10和16。此外，從561中減去1。這三個小數字都是560的除數。因此，數字561是一個卡邁克爾數。
儘管數學家們懷疑有無限多的卡邁克爾數，但與質數相比，卡邁克爾數相對較少，這使得他們難以確定。然後在1994年，
雷德-阿爾福德（Red Alford）、安德魯-格蘭維爾（Andrew Granville）和卡爾-波梅蘭斯（Carl Pomerance）發表
了一篇突破性的論文，他們最終證明了這些偽質數確實有無限多。
遺憾的是，他們所開發的技術並不允許他們對這些卡邁克爾數的模樣做出任何說明。它們是否沿
著數軸成簇出現
，中間有很大的差距？或者總是能在很短的間隔內找到一個卡邁克爾數字？“你會想，如果能證明有無限多的卡邁克爾數，”格蘭維爾說，“你肯定能證明它們之間沒有大的差距，它們應該有相對較好的間隔。”
特別是，他和他的合著者們希望證明一個反映這種想法的宣告，給定一個足夠大的數字X，在X和2X之間總會有一個卡邁克爾數字。國防分析研究所的數學家、喬恩-格蘭瑟姆（Jon Grantham）說：“這是用另一種方式來表達它們是多麼的普遍。”他曾做過這方面的工作。
但幾十年來，沒有人能夠證明這一點。阿爾福德、格蘭維爾和波梅蘭斯開發的技術 “使我們能夠證明會有許多卡邁克爾數字，”波梅蘭斯說，“但並不真正允許我們對它們的位置有很大的控制。”
然後，在2021年11月，格蘭維爾打開了拉森的電子郵件，當時他17歲，正在讀高三。郵件中附有一份檔案——令格蘭維爾驚訝的是，它看起來很正確。“這不是最簡單的閱讀，”他說。“但當我讀到它時，很明顯，他並不是在胡鬧。他有出色的想法。”
波梅蘭斯讀了該作品的後期版本，他同意。他說：“他的證明真的很先進，”他說。“這將是一篇任何數學家都會為自己寫的論文而感到自豪。而這裡是一個高中生在寫它。”
拉森證明的關鍵是當初吸引他去研究卡邁克爾數的工作：梅納德和陶關於質數間隙的結果。
不能——並非不可能
當拉森第一次著手證明你總能在很短的間隔內找到一個卡邁克爾數時，“看起來這顯然是真的，要證明它能有多難？”他說。他很快意識到這確實可能非常困難。“這是一個考驗我們時代技術的問題，”他說。
拉森對卡邁克爾數字建立了一個比他所要證明的更嚴格的約束。
在1994年的論文中，阿爾福德、
格蘭維爾
和波梅蘭斯展示瞭如何創造無限多的卡邁克爾數。但他們無法控制用於構建這些數字的質數的大小。這正是拉森需要做的，以建立大小相對接近的卡邁克爾數。這個問題的難度讓他的父親邁克爾-拉森
（Michael Larsen）
感到擔憂。“他說：”我不認為這是不可能的，但我認為他不太可能成功。“我看到他花了多少時間……我覺得他為這個問題付出了這麼多卻沒有得到，這對他來說是有毀滅性的。”
儘管如此，他知道最好不要試圖去勸阻他的兒子。他說：“當丹尼爾致力於他真正感興趣的事情時，他就會堅持下去，什麼也擋不住他。”
所以，拉森回到了梅納德的論文中，特別是，他的工作表明，如果你採取某些足夠多的數字序列，這些數字的某些子集必須是質數。拉森修改了梅納德的技術，將其與阿爾福德、格蘭維爾和波梅蘭斯使用的方法相結合。這使他能夠確保他最終得到的質數在大小上有所不同，足以產生屬於他想要的區間的卡邁克爾數。
格蘭維爾說：“他對事物的控制力比我們以往任何時候都強。而他是透過特別巧妙地利用梅納德的作品來實現的。”芬蘭圖爾庫大學的數學家凱薩-馬托馬基（Kaisa Matomki）說：“在質數之間的短間隔上……利用這一進展並不容易。”“他能夠將其與關於卡邁克爾數的這個問題結合起來，這相當不錯。”
事實上，拉森的論證並不只是讓他證明一個卡邁克爾數字必須總是出現在X和2X之間。他的證明也適用於更小的區間。數學家們現在希望這也將有助於揭示這些奇怪數字的行為的其他方面。“這是一個不同的想法，”南卡羅來納州沃夫德學院從事偽質數研究的數學家、托馬斯-賴
特（Thomas Wright）評價
說，“它改變了很多關於我們如何證明有關卡邁克爾數的事情。”
格蘭瑟姆表示同意，說：“現在你可以做你從未想過的事情。”
與此同時，拉森剛剛開始了他在麻省理工學院的大一課程。他不確定下一步他可能會研究什麼問題，但他渴望瞭解外面的情況。他說：“我只是在學習課程……並試圖保持開放的心態。”
格蘭瑟姆評價拉森如是說，
"他在沒有接受本科教育的情況下做到了這一切，我只能想象他在研究生院會有什麼成果。"