斜漸近線的k和b怎麼來的
更正並致歉
首先：更正並致歉。在上一篇文章《橢圓性質彙總》中，有細心讀者發現文中出現兩處錯誤，現宣告更正如下：
1，橢圓直徑性質證明過程更正如下：
2，焦點三角形面積公式更正為：
本人再次對文章編輯過程中出現的錯誤致歉，希望大家持續關注並積極指正。
上一篇文章已對橢圓性質進行了彙總，本文對高考考點中涉及的雙曲線的部分性質進行彙總。
注：以下僅討論焦點在x軸上的雙曲線性質。
雙曲線定義
1.第一定義
平面內與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值為常數2a的動點P的軌跡叫做雙曲線，其中2a<|F1F2|。此為課本上的標準定義，不再詳述。
2.第二定義
平面內到定點F（±c，0）的距離和到定直線l：x=±a²/c的距離之比為常數e=c/a（e>1）的點的軌跡是雙曲線。其中定點F（±c，0）為雙曲線的左右焦點，定直線l：x=±a²/c為雙曲線的左右準線。
對第二定義給出證明：
以右焦點和右準線為例：
上述定義即可作為判定定理也可作為性質定理。
雙曲線方程
1.雙曲線標準方程
不再詳述。
2.雙曲線引數方程
注：sec為正割函式，secθ=1/cosθ
其中θ為引數，θ的幾何意義如下圖：
以雙曲線實軸和虛軸為直徑分別做圓C1（圖中大圓）、C2（圖中小圓），對雙曲線上任一點M，做x軸垂線，垂足為A‘。過A’做圓C1切線，切點為A。過圓C2與x正半軸焦點B做圓C2的切線，與過M並平行於x軸的直線交於B‘點。則O、A、B’三點共線，∠AOx即為引數θ。
切線
1.雙曲線切線定理
雙曲線的任意一條切線平分切點所在的焦點三角形頂角。
圖中∠α=∠β，對頂角相等，切線是焦點三角形的一條角平分線。
證明從略。該性質在高考中應用較少，但其揭示了雙曲線的一條光學性質，該性質在高中數學課本上也有提及，即從雙曲線的一個焦點發出的光線，經雙曲線反射後，其反向延長線在另一個焦點匯聚。
2.雙曲線切線方程
過雙曲線上一點P（x0，y0）的切線方程為：
以下用求導方法給出證明：
上述證明過程用到了隱函式求導，高中範圍不涉及該知識點，有興趣的同學可以嘗試用二次函式判別式推導。
3.雙曲線切點弦方程
過雙曲線外一點，做雙曲線上的兩條切線（如果存在的話），切點為A，B，則過A，B的切點弦方程為：
這裡需要注意，過雙曲線外（或上）一點做雙曲線切線，最多隻可能做兩條切線。具體見下：
4.雙曲線切線存在情況
如圖：雙曲線及漸近線將平面分成ABCDEF六個區域：
1。當P位於A、B區域時，過P可在雙曲線兩支各做一條切線；
2。當P位於C、D區域時，過P可在雙曲線較近的一支做兩條切線；
3。當P位於E、F區域時，過P不能做切線；
4。當P位於雙曲線上時，過P只可在P點所在支做一條切線；
5。當P位於漸近線上（不含原點）時，過P只可在雙曲線較近的一支做一條切線；
6。當P位於原點時，過P不能做切線；
具體列表如下：
直徑
過雙曲線中心的弦被稱為雙曲線的直徑。實軸是雙曲線最短的直徑，雙曲線直徑可以無限長，故雙曲線沒有最長的直徑。雙曲線直徑所在直線的斜率的絕對值必然小於漸近線斜率的絕對值。
1.雙曲線直徑性質
雙曲線上的點與雙曲線直徑兩端點連線的斜率（如果存在的話）之積是定值，定值為e²-1。
特別的：雙曲線上任意點到實軸兩端點連線斜率之積是定值e²-1。
2.雙曲線直徑長
雙曲線直徑長公式為：
其中k為直徑所在直線斜率。該公式請同學們自行推導。顯然，直徑存在的充要條件是|k|
特別的：當k=0時，上式結果為2a，即為實軸；當k趨於±b/a，即漸近線斜率時，上式結果趨於無窮大。
焦半徑
1.焦半徑長
焦半徑長：|PF1|=|ex+a|，|PF2|=|ex-a|（F1，F2分別為左右焦點，P點在右支上時，等式右端絕對值內取正，P點在左支上時取負）。
透過準線定義證明，過程略。
2.焦半徑性質
以短焦半徑為直徑的圓與以實軸為直徑的圓外切，以長焦半徑為直徑的圓與以實軸為直徑的圓內切。
以P點在右支上舉例進行證明：
證：設以PF2為直徑的圓的圓心為O2，則圓O2半徑為r2=（ex-a）/2，
以長軸為直徑的圓的圓心為座標原點O，圓O半徑為r=a，
兩圓心距離|OO2|=（ex+a）/2=r+r2，
故以PF2為直徑的圓與以長軸為直徑的圓外切。
同理可證，以PF1為直徑的圓與以長軸為直徑的圓內切。
3.焦點弦
焦點弦長公式為：
其中k為焦點弦所在直線斜率。該公式請同學們自行推導。
當|k|b/a時，焦點在焦點弦上，當|k|=b/a時，焦點弦不存在（或無限長）
特別的：當k=0時，上式結果為2a，即為實軸；當k趨於無窮大時，上式結果即為通徑長：2b^2/a
4.焦點三角形
焦點三角形面積公式：
證明從略
雙曲線與橢圓
雙曲線兩頂點A1，A2和與y軸平行的直線交雙曲線的兩動點P1，P2，直線A1P1與A2P2的交點軌跡為等軸橢圓。反之亦然。
其他
1.判別式
直線方程y=kx+m與雙曲線方程聯立後的，關於x的二次方程的判別式：
注：雙曲線在聯立方程時，首先要討論b²-a²k²是否為0，如果為0，即直線斜率與漸近線斜率一致，則聯立後關於x的方程為一次方程，不存在判別式問題。
2.一般弦長公式
雙曲線一般弦長公式：
上述公式推導過程從略，顯然，當m=0時，公式退化為直徑公式；m=±kc，即直線過焦點時，公式退化為焦點弦公式；當|k|=b/a時，弦長不存在（或無限長）。
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