張量的幾何意義
作者：李新洲
有人認為每一個進展都是一種吉尼斯紀錄式的超越；有人認為愛因斯坦是無法超越的，他是最偉大的經典物理學家，同時又是量子論的發端者。我們說愛因斯坦之所以超越了牛頓，是因為廣義相對論揚棄了牛頓理論，併為觀測所證實。要超越愛因斯坦，新理論的建立者，必須揚棄廣義相對論，使理論的邏輯更簡單，併為觀測所證實。
一百年前的11月25日是科學史上偉大的一天。在這一天，愛因斯坦公佈了他的廣義相對論，這是他先前發表的狹義相對論的發展。狹義相對論描述了時間與空間的內在聯絡，經過十年的努力，愛因斯坦找到了這種時空新關係如何徹底變革牛頓引力理論的正確答案。愛因斯坦得到了一個極其優雅且邏輯簡明的方程：
時空的曲率+時空的拉伸=
8πG×能量動量和內應力的分佈，其中G是牛頓引力常數。這個方程告訴我們，如果想知道時空的曲率是多少。就應當知道時空中能量動量和內應力是怎樣分佈的，這個以愛因斯坦姓氏命名的方程，可以用來描述整個宇宙。從那時起，某一物體產生的引力不再被理解成物體對周圍事物所施加的吸引力，而是時空的變化。物體對周圍時空的擠壓或拉伸，迫使周圍其他物體偏移，發生變速運動。廣義相對論最優美之處是理論自動導致能量守恆定律，而在牛頓理論中必須外加這條守恆定律。
百年證實不尋常
百年來。人類對宇宙的理解取得了長足的進步。宇宙比我們祖先所想象的古老得多，也大得多，並且充滿了諸如白矮星、中子星和黑洞這些廣義相對論所預言的物體。這使得早期以地球為中心的世界觀顯得過於自大與狹隘，人類對自然的敬畏部分地轉化為對愛因斯坦的崇拜。與以往喜愛古代神話的那部分人群一樣，不少青年人喜愛上了科幻小說，而事實上科幻同樣與現代科學有明顯矛盾。對愛因斯坦的崇拜，使得諸如時間機器、平行宇宙、回到未來這樣的探索性理論成了好萊塢謀取票房的手段。
由於G是一個十分小的常數，所以需要很大的質量才能使時空明顯地彎曲。倒數1/G可以看作是時空“剛性”的度量。根據日常經驗，時空是非常堅硬的。地球全部質量引起的時空彎曲僅僅是地球表面曲度的十億分之一，對於日常觀測來說，這實在是太小的一個量級。然而廣義相對論預言，經過太陽邊緣的星光將會彎向太陽。其彎曲程度兩倍於牛頓力學所預言的。對這一預言必須等到日全食時才能進行檢驗，因為只有在日全食的情況下靠近太陽的恆星才能被觀測到。在第一次世界大戰停戰一週年之際，一次日全食所投下的陰影從非洲西部開始，橫掃大西洋直達巴西北部。英國天文學家愛丁頓（A。Eddington）率領的一個觀測隊宣佈了觀測結果：光線彎曲程度與愛因斯坦的預言一致，是牛頓力學計算值的兩倍。這是科學史上一個令人崇敬的戲劇性時刻。愛因斯坦理論上的深刻闡述，已在偉大的自然實驗室得到了證實。
廣義相對論的第二個驗證是水星近日點進動。法國天文學家勒韋裡耶（u。Le Verrier）用牛頓定律計算其他行星對水星近日點進動影響時，發現理論計算和天文觀測值有百分之一的偏差。為此，許多科學家曾假設是由於太陽周圍的塵埃，或者太陽不是精確的球形而引起，但觀測否定了這些假設。廣義相對論斷言這個偏差是由牛頓定律的不精確所引起的，並計算出這個偏差值是每世紀43弧秒，與勒韋裡耶發現的值相符。當雷達能夠辨別水星上的山峰和峽谷後，用雷達就能精確地測量水星的軌道，近日點進動與廣義相對論的預測完全一致。
廣義相對論的第三個驗證是：引力場中的鐘應當走得慢。在引力場裡的人，應比沒有引力環境中的人實際上要衰老得慢一些。這一引人注目的時鐘變慢效應很小。必須要用精確的原子鐘來測量。科學家將一個原子鐘放到遠離地球的空間軌道上，過了一段時間後，將它收回來與地球上的另一個原子鐘比較，觀測結果與廣義相對論一致。
令人驚異的是，利用廣義相對論可以描述離地球3萬光年以外的一對中子星的運動。它們的引力強度要比太陽系中任何一處的引力強10倍。經過20多年的觀測，人們發現它們的運動與廣義相對論符合得極好，理論預測精確度達到1/10。這相當於測量地球赤道長度誤差不超過阿米巴細菌尺寸的1/10。
百年證實漫漫路，似乎所有的觀測都在證實廣義相對論，但引力波是個例外。自從愛因斯坦預言引力波的存在後，科學家們在世界各地建造費用高昂的大型探測器，希望能借此傾聽來自宇宙深處的聲音。人們期待有朝一日能親耳聽到恆星的爆炸、中子星的碰撞、黑洞的創生，或許由此而洞悉宇宙深處的所有奧秘。
目前地球上許多不同地方的天線幾乎一刻不停地運轉著，期待著某個超新星或銀河系中心看不見的引力坍縮出現。機率當然不大，但裝置已達到非常可靠的地步，它們為世人提供了極佳的發現引力波訊號的機會。
透過測量脈衝星訊號的殘差來探測宇宙中的超大質量黑洞產生的引力波。該領域國際上主要由澳大利亞的PPTA fParkes Pulsar Timing Array）組、歐洲的EFTA（European Pulsar Timing Array）組和美國的NANOGrav（North American Nanohertz Observatory for Gravitational Waves）組在競爭。
目前做得最好的是澳大利亞組，雖然目前尚未探測到訊號，但預計在未來十年之內，該方法就應該真正探測到訊號。我國在建的500米口徑球面射電望遠鏡（Five hundred meters AoertureSpherical Radio Telescope，FAST）和參與的平方公里射電陣（Square Kilometre Array，SKA），也屬於這類探測器。另一種設想就是用鐳射干涉來探測引力波。分光器將光線分成兩條路徑，當引力波透過時，一條路徑收縮，而另一條路徑膨脹。
這樣，我們就可以透過干涉儀在輸出條紋圖案上所形成的亮度變化探測到引力波的存在。透過量子力學的計算，要使鐳射干涉儀達到10-21靈敏度，必須裝備十萬瓦的鐳射器和一條長達幾萬米的基線。已經建成並執行的鐳射干涉儀引力波天文臺主要有美國的LIGO（Laser Interferometer GravitationalWave Observatory）和歐洲的VIRGO，目前兩者都在系統升級之中。
在不久的將來，科學家期待它們看到中子星或者小黑洞併合所產生的引力波輻射。此外，還有歐洲的LISA（Laser Interferometer Space Antenna）。預計2020年或更晚一些可以發射並投入執行。日本的KAGRA（Kamioka Gravitational Wave Detector）也已進行了前期投入，在神同開挖了3000米的隧道準備安裝鐳射干涉儀。
儘管人們進行了鍥而不捨的努力，愛因斯坦引力波預言的證實仍在期待中。
疑雲已諾上心頭
波普爾（K。Popper）的著作《猜想與反駁》頗為我國知識界所熟悉，1980年代出版了中譯本。邏輯實證主義主張科學家透過歸納、反覆的經驗檢驗或觀察，去證明一個理論。波普爾否定這個觀點，他認為即使以往的觀察都證明某一理論是有效的，也無法保證下一次觀察會給出同樣的證明。所以波普爾認為，觀察永遠也不能證明一個理論，而只能證偽它。波普爾還把他的證偽原則擴充套件為一種哲學，並稱之為批判理性主義。當某一科學家提出一種設想，立刻就會有一批科學家試圖用相反論證或相反的實驗證據推翻它。一些科學家嘗試找到相反的觀測證據來證偽廣義相對論。
在廣義相對論誕生後的第18個年頭，天文學家茨維基（F。Zwicky）在研究後發星系團（Coma Cluster）過程中。發現星系在星系團中的旋轉與愛因斯坦方程計算出的結果不相吻合。透過測量該星系團中心、周圍的各星系運動，推算出它的質量比用星系團亮度計算出的質量高了500倍。如果採用透過亮度計算的質量，那麼依照觀測到的星系轉動速度，它們早就應該被星系團丟擲去了。如何解釋這一不合理現象呢？有兩種迥然不同的方式來擺脫面臨的尷尬窘態。其一，揚棄廣義相對論來解釋星系為什麼跳著失衡的舞步：其二。廣義相對論是唯一正確的引力理論，所以人們必須假定存在一種難以捉摸的物質。這種物質不會對天體的亮度產生影響，但會對天體的運動形成制約。基於愛因斯坦的權威性，到1970年代，第二種觀點已被人們廣為接受，並命名這種物質為暗物質。
1975年，美國天文學家塔利（R。B。Tully）和費希爾（J。R。Fisher）發現了一條經驗定律：只要瞭解某個旋渦星系的亮度，就能推算出其恆星的運動速度。換句話說，只要知道星系的可見物質的質量而不是總質量，就能推算出恆星的運動速度。面對這條定律，奉廣義相對論為圭臬的人並未感到驚慌，他們假定在旋渦星系中暗物質和可見物質總是以同樣的方式分佈，於是就避免了觀測與理論的衝突。自1994年開始，美國天文學家麥高（s。McGaugh）試圖證明塔利一費希爾關係僅僅適用於旋渦星系，而與其他型別星系無關。經過十多年研究探索，麥高幡然醒悟，改弦更張，他指出不論是旋渦星系，或者橢圓星系，還是不規則星系，星系的總質量與星系所含恆星的速度4次方成正比。塔利一費希爾關係對所有星系型別都是成立的！
麥高的觀測結果與暗物質不相容。根據基於廣義相對論的宇宙標準模型，星系形成過程是極其複雜的。粗略地說，星系形成之初，時空中充滿著暗物質和可見物質，而由量子擾動演化而來的擾動使暗物質匯聚成暗暈，暗暈將可見物質吸引過來，並進一步旋轉壓縮成為星系。這樣看來，就應當存在可見物質浸潤在暗暈中的較小星系，也應當存在由薄的暗物質雲包裹著的較大星系。況且，我們所看到的星系擁有不同歷史，又是形態各異，憑什麼它們都得符合同一條定律？塔利一費希爾定律如此行之有效。絕不會只是巧合。
疑雲已諾上心頭。“諾”者決定重新審視廣義相對論並拋棄暗物質這一輔助概念；“已”者仍然視廣義相對論為圭臬，他們認為只要深化暗物質的細節就能解釋星系中恆星的奇異運動。是“諾”還是“已”，歐洲核研究組織（CERN）的大型強子對撞機（LHC）是一塊試金石。經過30多年的努力，各種暗物質粒子探測器仍然徒勞無功，人們便將希望寄託在LHC上。然而，儘管LHC的對撞能量不斷增加，迄今仍未發現扮演暗物質角色的超對稱粒子。雖然暗物質領域的專家們不願承認自己所處的窘境，他們確實有些焦躁了。在不久的將來，他們也許將用另一種候選者來替代超對稱粒子，或者乾脆放棄這樣的探測。
路曼曼其修遠兮
當你正在閱讀這篇文章時，插在你耳中的iPod耳機中正播放著康定情歌；當你面對暗物質是否存在的論證與反論證時，正打算讓自己稍微定下神進行思索的那一刻，口袋裡的手機響了起來，一條資訊頃刻讓你的注意力轉移。美國當代作家卡爾（N。Cart）將此稱為“淺陋（Shallow）”，網路鼓勵人們蜻蜓點水般從多種資訊來源中廣泛採集碎片化的資訊，許多人因此喪失了專注能力、沉思能力和反省能力。網路時代的浮躁，也或多或少地影響到了引力研究領域。
20多年前。粒子物理學與天體物理學領域率先開放了觀測資料和研究論文，在arXiv網站上可以釋出未經同行評議的論文。在2014年度，就大約有10萬篇論文提交到arXiv網站釋出，來經同行評議的論文不僅可能會增加一些沒有意義的結果，還會干擾理論物理學家的工作。
誤導性的新聞報道又常常將這些未加論證的結論廣泛傳播。作為一個典型例子，隨著今年3月8號arXiv上的一篇論文釋出，作者所在的大學立即釋出了新聞報道。新聞稿說，在銀河系附近發現的富含暗物質的矮星系裡，發現了y射線存在的訊號，這符合暗物質粒子湮沒時產生的高能輻射的事實。
雖然該文作者承認，光子只是噪聲水平的3到4倍，結果並不十分確定。整篇新聞報道卻暗示了這是一個激動人心的發現！不久以後，論文作者使用了升級版的分析軟體，提高了靈敏度後，他們明白了在費米y射線衛星大面積望遠鏡（Large Area Telescope，LAT）照片分析中得到的只是噪聲，而不是暗物質的證據。此外，當資料開放以後，誤用資料的風險也在增加。觀測資料透過複雜的演算法和校準過程，轉化成所有理論物理學家原則上都可使用的量化數值，但是隻有裝置的建造者才具備降低噪聲影響的技能。
即使經過同行評議，並發表在諸如美國《物理評論快報》（Physzcal Review Letters）這樣有影響的學術刊物上的論文，仍然難以避免網路時代的影響。一個著名的例子是去年的原初引力波證據的研究報告。研究證據來自位於南極的BICEP2（Background Imaging of Cosmic Extragalactic Polarization 2），證據表明存在旋渦狀的偏振模式。
在粒子物理學領域，新發現成立的閾值通常為5個西格瑪：如果一個訊號是平均噪聲水平的5倍以上，那麼這一結果是隨機噪聲的機率大約為350萬分之一。BICEP2的訊號本身不存在任何問題。檢測標準達到了7個西格瑪，問題的關鍵在於訊號究竟是不是來自原初的宇宙，銀河系中的塵埃也會輻射出這種偏振模式。普朗克衛星在9個頻率上收集全空間的微波背景輻射，研究結果與BICEP2團隊不一致。最終。BICEP2和普朗克衛星的研究人員合作得到了可靠的結果。原初引力波仍然處在薛定諤貓的狀態，沒有得到確認。人們不禁要問，為何不在文章正式發表之前兩者就攜手合作？
欲速則不達，要超越愛因斯坦絕非一日之功。力戒浮躁淺陋，在喧囂的網路時代尤為重要。路曼曼其修遠兮。證實或證偽廣義相對論的引力學家仍需上下而求索。
陶然樂在求索中
愛因斯坦方程中，本就含有時空拉伸項，並能簡單地取成宇宙學常數項。儘管人們尚不能解釋宇宙學常數為什麼這樣小，但是愛因斯坦理論已能解釋宇宙正在加速膨脹的觀測事實。與此不同的是，為了解釋塔利一費希爾定律卻要大費周章，能不能放棄暗物質假設，改弦更張呢？事實上，以色列天體物理學家米勒格羅姆（M。Milgrom）早在麥高的發現之前十多年就放棄了暗物質假設，提出了一種新理論。米勒格羅姆稱新理論為修正牛頓動力學（Modified Newtonian Dynamics，MOND）理論。在MOND理論中，物體之間的吸引力不再像牛頓及愛因斯坦所預言的那樣隨物體間距離呈平方反比式降低。當加速度低於10-10米/秒z時，引力減小的速度就要小得多，所以星系邊緣的引力要比愛因斯坦理論所預言的大，這就使得塔利一費希爾定律得至U解釋。
牛頓在致胡克（R。Hooke）的信中說，“如果說我看得比別人更遠，那是因為我站在了巨人的肩上。”科學乃至整個文明是累積前進的，它的每次超越都建立在已有的成果之上。誰站在巨人的肩膀上，誰就能看得更遠。歷史的經驗告訴我們，超越前人的牛頓如此，超越牛頓的愛因斯坦也是如此。
要超越愛因斯坦，就必須繼承和發揚廣義相對論的優美之處。MOND理論確實是改弦更張，但米勒格羅姆沒有站上愛因斯坦的肩頭。MOND理論沒有繼承廣義相對論的優美之處，它只是一種唯象的理論，不具備協變性這個起碼要求。2004年，貝肯斯泰因（J。Bekenstein）提出了張量一向量一標量理論（Tensor-Vector-Scalar Gravity，TeVeS），這是一個協變的MOND理論。儘管貝肯斯泰因曾因建議黑洞具有熵而享譽學術界，但他的TeVeS沒有透過檢驗。利用TeVeS進行的星系運動數值模擬中，星系運動得過快，好像星系團缺失了一半質量。歷史真會開玩笑，人們彷彿又回到了茨維基引入暗物質概念的1933年。
不論是牛頓還是愛因斯坦，他們的理論體系都包含著深層次的哲學內涵。絕大多數的當代物理學家不再理會這些隱藏在深處的哲學思辨。只是運用已有的物理定律，埋頭去製造各種鐳射器、超導體和計算裝置，從而博得包括政治家在內的各個階層的喝彩。我們不應苛求科學家，他們並非人人是聖賢。科學家需要透過競爭獲得職位、資助、職業指標（比如h指標）和獎項，所以他們往往會急於求成，難以十年磨一劍。然而，少數引力學家是個例外，他們回到笛卡爾哲學沉思的正規化上振聾發聵地發問：愛因斯坦的廣義相對論在理論與觀測兩方面都是不二理論嗎？
事實上，德國數學家外爾（H。Weyl）早在1918年就提出了他的規範不變幾何理論，為了超越廣義相對論，外爾的出發點是將引力和電磁力同時納入時空流形的單一幾何結構中去。眾所周知，在廣義相對論中，向量的長度總是可積的。而只有在無引力場的時空區域，向量的平行移動才是可積的。在外爾理論中，向量長度不可積性將預言一些新的效應。例如，沿不同路徑移動的全同時鍾，由於電磁場的貢獻，當它們重新會合時，它們不再走得一樣快了。利用近代的穆斯堡爾效應技術。可以證明外爾預言的效應非常小。在外爾理論的時代，觀測技術不具備看到譜線紅移的能力，愛因斯坦將此作為批判外爾理論的有力武器。鑑於這個原因，外爾理論很快就被捨棄了。
此後，修正廣義相對論的研究層出不窮。早期包括卡盧察（T。Kaluza）用芬斯勒（P。Findler）幾何，薛定諤（E。Schrodinger）用非對稱度規，泡利（w。Pauli）和菲耶爾（M。Fierz）用有質量引力理論來修正廣義相對論。惠勒（J。A。Wheeler）將時空中的蟲洞看作荷電粒子的一種模型，取名為幾何動力學。
依此看來，幾何便是一切。引力場、電磁場和其他的場無非是度規產生的某種畸變，粒子的質量和電荷與時空的拓撲形態有關。然而，迄今為止這仍是一種方案，而不是一種完整的理論。布蘭斯（C。Brans）和迪克（R。H。Dicke）提出了一種修正理論，使引力理論與馬赫原理相一致。這種標量一張量理論有一個使人不滿意的地方，那就是標量場缺少明顯的幾何意義。到了21世紀，引力學家又提出了f（R）和f（T）理論修正廣義相對論，這裡的R和T分別是幾何空間的曲率標量和撓率標量。然而，上述所有理論，或者在理論上或者在觀測上存在著一些問題，均未成為超越廣義相對論的候選者。
實質性的突破是新近由德拉姆（C。de Rham）、加巴達傑（G。Gabadadze）和託利（A。J。Tolley）取得的，他們克服了泡利一菲耶爾線性理論和它的非線性擴充理論的內在困難。提出了一種全新的有質量引力理論，學術界將其稱為dRGT理論。從有質量引力理論問世以來，有兩個難以逾越的困難。
首先，不管引力子的質量有多小，它以5個自由度傳播，而廣義相對論中的引力子是無質量引力子，僅以2個自由度傳播。這是所謂vDVZ（van Dam-Veltman—Zakharov）不連續性佯謬的根源。魏因施泰因（A。I。Vainshtein）機制解答了這個疑難，在無質量極限時，額外自由度被非線性的自相互作用所遮蔽。其次，非線性的有質量引力理論會出現BD（Boulware-Deser）鬼，這將使理論是不穩定的。dRGT理論在所有微擾階上避免了鬼的出現。除此以外，dRGT理論像廣義相對論一樣具有非線性微分同胚不變性。換句話說，dRGT理論繼承了愛因斯坦理論的優美之處。在觀測上，引力子質量被限定在10-30～10-33電子伏範圍，這使得dRGT理論與現有的觀測相符，又留下了新的觀測視窗。
在紀念廣義相對論釋出一百週年之際，也許最重要的啟迪就是科學沒有止境。儘管何時何人超越愛因斯坦，我們仍無確切的答案。但是，學無射，問無窮，科學沒有終點，愛因斯坦必將會被超越！