n邊形有多少條對角線
大家對於三角形這個幾何形狀應該都不陌生吧!三角形啊,最老生常談的就是它具有穩定性了,生活中有許多用到三角形的構造設計,都是源於三角形的穩定性。除了這一點性質,我們在學幾何的時候,還要觀察三角形的邊和角。
說到角,大家知道
三角形內角和為180°
嗎?很多人都知道這個定理,但是卻不知道這個定理是怎麼來的,為什麼三角形內角和是180°呢?
如下圖,在一平面內有△ABC,我們要知道△ABC的內角和,也就是∠1+∠2+∠3的角度和。首先我們先延長BC,然後過C點作AB的平行線。這樣一來就簡單多啦!
平行線同位角相等,所以∠ABC=∠DCE。
平行線內錯角相等,所以∠BAC=∠ACD。
如果還沒學過平行線的性質的同學們可能就有點著急了,完全不知道啊!不要著急,我們不一定要知道什麼是同位角,什麼是內錯角,可以先從圖片上觀察,想象一下。如果把A、D連線起來,把D、E連線起來,就組成了△DCE和△ACD,這兩個三角形,其實都可以看作是△ABC的變形,一個是平移到右邊的,一個是翻轉過來的。這樣就比較好理解了。
很顯然,∠1+∠2+∠3經過變化以後變成一個平角。眾所周知,平角是180°哦!
現在大家知道為什麼三角形內角和是180°了吧!我們今天要講的內容和這個定理有很大的關係哦!
不僅數學中有很多幾何圖形,生活中也是,比如說蜂巢就是由許多六邊形組成的完美的密合穩定的模樣。那六邊形的內角和又是多少度呢?除了六邊形,五邊形、七邊形、九邊形……
N邊形的內角和是幾度呢?
大家快跟著我一起探索吧!
一、四邊形(畫1條對角線,分2個三角形,內角和是180°×2)
我們從一個頂點畫出1條對角線,將四邊形分成A和B兩個三角形,一個三角形的內角和是180°,那很明顯,兩個三角形的內角和是360°。
二、五邊形(畫2條對角線,分3個三角形,內角和是180°×3)
我們從一個頂點畫出2條對角線,將五邊形分成A、B和C三個三角形,一個三角形的內角和是180°,那很明顯,三個三角形的內角和是540°。
三、六邊形(畫3條對角線,分4個三角形,內角和是180°×4)
我們從一個頂點畫出3條對角線,將六邊形分成A、B、C和D四個三角形,一個三角形的內角和是180°,那很明顯,四個三角形的內角和是720°。
四、七邊形(畫4條對角線,分5個三角形,內角和是180°×5)
我們從一個頂點畫出4條對角線,將七邊形分成A、B、C、D和E五個三角形,一個三角形的內角和是180°,那很明顯,五個三角形的內角和是900°。
五、N邊形(畫(N-3)條對角線,分(N-2)個三角形,內角和是180°×(N-2))
我們根據前幾個多邊形的規律可以探索得到,N邊形的內角和就是180°×(N-2)。其實這是一個很簡單的定理哦,如果大家在做題的時候恰好忘記了,可以試著畫一下多邊形,然後從
頂點
劃分三角形,找出邊數和內角和的規律即可。
這裡要
注意
的是!有些同學劃分三角形喜歡從中心點畫,這個時候大家肯定又要問了,咦!怎麼我分出來的三角形個數和邊數一樣,那內角和應該是180°×N啊,那這個定理是假的嗎?
其實不然。如果我們從中心點分割三角形,分出的三角形個數確實和邊數相同,但是看圖,這是一個八邊形,它的內角和是八個藍色角度的和,而我們分割出來的8個三角形,每個只有兩個角參與組成了,其餘的一個角沒有參與組成內角和,反而一起組成一個周角。
一個周角是360°,因此應該是180°×N-360°。整理以後也就是180°×(N-2)。
數學中也是“條條大路通羅馬”,我們用不同的方法,最終還是得到了相同的答案,做一道題目有多種方法,推導定理也不止一種手段。我們就是需要在不同的提問中不斷完善自己,提高自己!