小數能化成分數嗎
選自quantamagazine
作者：Erica Klarreich
機器之心編譯
機器之心編輯部
這項工作第一次明確了有多少整數可以寫成兩個分數的立方和
今年早些時候，三位數學家討論了數論中最古老的問題之一：有多少整數可以寫成兩個分數（有理數）的立方之和。例如，數字 6 = （17/21）^3 + （37/21）^3，而 13 = （7/3）^3+（2/3）^3。
幾十年來，數學家們一直猜測整數中有一半可以寫成這種形式，就像奇數和偶數一樣。
但是沒有人能夠證明這一點，甚至沒有人能夠估計屬於每個陣營的整數比例。根據數學家目前的瞭解，與最初的猜測不同，真正可以寫成兩個有理數立方之和的整數陣營有兩種可能的情況：要麼能分解的整數非常少，甚至可以忽略不計；要麼幾乎所有整數都可以寫成兩個有理數立方和的形式。
數學家已經計算出，如果世界七大數學難題之一 BSD 猜想被證實，那麼大約 59% 的數字都可以寫成兩個有理數的立方和。但這個比例資料僅能提供一些參考而已。
如下圖所示，藍色方格內的數字可以寫成兩個有理數的立方和；其他則不能。
哈佛大學的 Barry Mazur 說：「與奇數和偶數不同，這兩個陣營的劃分是很微妙的。」沒有測試過的數字就不能明確說屬於哪個陣營，而測試本身也是一項挑戰。
實際上，將一個整數分解成兩個分數立方和，這個問題的意義不止是哪些整數可以分解，還有一個重要的意義是應用於橢圓曲線。橢圓曲線具有非常複雜的結構，這使它們成為純數學和應用數學等許多領域的中心，特別是可以用於密碼學領域來構建強大的密碼。BSD 猜想是該領域的核心問題，克雷數學研究所曾在 2000 年為破解這一難題設定 100 萬美金的獎勵，但至今無人能給出完整的理論證明。
就在 10 月下旬發表的一篇論文中，三位數學家 Levent Alpöge、Manjul Bhargava 和 Ari Shnidman 證明了至少有 2/21（約 9。5%）和最多 5/6（約 83%）的整數可以寫成兩個分數的立方之和。值得一提的是，論文作者之一 Manjul Bhargava 在 2014 年因其對橢圓曲線研究做出的貢獻而獲得菲爾茲獎。
論文地址：https：//arxiv。org/abs/2210。10730
論文作者之一 Manjul Bhargava。
10 月發表的這項新工作建立在 Bhargava 過去 20 年與合作者一起開發的一套工具的基礎上。
神奇的三次方
與兩個分數的立方和相反，幾乎沒有任何整數可以分解成兩個分數的平方和。1600 年代初期，數學家 Albert Girard 和 Pierre de Fermat 想出了一個簡單的測試來確定哪些整數可以分解成兩個分數的平方和：先把整數分解成幾個質數的冪的乘積，然後用 4 除每個質數，找到餘數為 3 的質數，檢視其指數，如果指數都是偶數，那麼這個整數就能夠分解成兩個分數的平方之和；反之不能。例如 490 = 2^1 × 5^1 × 7^2。每個質數除以 4 時餘數為 3 的唯一因數是 7，並且 7 的指數是偶數。因此，490 是兩個有理數的平方和（490 = 7^2 + 21^2）。需要注意的是，絕大多數整數都未能透過 Albert Girard 和 Pierre de Fermat 提出的偶數指數測試。
如果你隨機選擇一個整數，它是兩個分數平方和的機率基本上為零。數學家認為，兩個分數之和的四次方、五次方或任何大於三的次方也是如此。只有立方的總和才會變得豐富。
論文作者之一、希伯來大學的 Ari Shnidman。
在由兩個變數構成的方程中（如兩個立方之和方程），最高指數為 1 或 2 的方程，要麼沒有有理解，要麼有無窮多，同時，最高指數為 4 或更高的方程通常只有有限的有理解。
相比之下，三次方程可以有有限多個解，也可以有無限多個解，或者根本沒有解。「三次方總是這麼與眾不同」，哈佛大學的 Mazur 說道。
對映矩陣
今年 4 月，該研究團隊在之前工作的基礎上發現，只要一個立方和（sum-of-cubes）方程有有理解，就有辦法構建至少一個特殊的 2 × 2 × 2 × 2 矩陣。
為此，該團隊借鑑了兩個已經研究了一個多世紀的經典課題。一個是「幾何數論（geometry of numbers）」，涉及如何計算不同幾何形狀內的格點（lattice points）。
另一種稱為圓法（circle method），由傳奇印度數學家 Srinivasa Ramanujan 及其長期合作者 G。H。 Hardy 完成。該研究是將圓法與幾何數論技術相結合的首次重大應用。
使用這些方法，該研究證明，在所有整數中，至少有 1/6 的整數不存在 2 × 2 × 2 × 2 矩陣。這意味著在這些整數中，立方和（sum-of-cubes）方程沒有有理解。所以在剩餘不到 5/6 的整數中（大約佔 83%），可以由兩個分數的立方和構成。
論文作者之一、哈佛大學的 Levent Alpöge。
進一步的，該研究發現至少佔據 5/12 的整數中恰好有一個匹配矩陣。
此外該研究還需要一種橢圓曲線研究人員稱之為逆定理（converse theorem）的知識——獲取有關三次方程的資訊並使用它來構建有理解。逆定理是橢圓曲線理論發展的一個子領域，三人（Alpöge、Bhargava、Shnidman）求助於該子領域的兩位專家——德克薩斯大學的 Ashay Burungale 和普林斯頓的 Skinner。Burungale 等人證明，至少在某些情況下，如果一個整數只有一個相關矩陣，那麼這個數一定是兩個有理數立方的和。
Burungale 等人的證明必須施加一個技術條件，將 5/12 的子集削減到 2/21，或所有整數的 9。5%。但 Bhargava 樂觀地認為，Burungale 和 Skinner 或他們所在領域的其他研究人員將在不久的將來達到剩下的 5/12（總共約 41%）。
證明了完整猜想——恰好一半的整數是兩個立方體的綜合，最終將需要處理具有多個關聯矩陣的數字集。Bhargava 認為這個非常模糊的數字集包含了「是和不是」兩個立方體和的數字，他表示處理這些數字需要全新的思路。
目前，他們很高興最終解決了大部分整數的問題，並希望進一步探索證明方法。普林斯頓大學教授、數學家 Peter Sarnak 稱讚道：「解釋結果也許是件容易的事，但重要的是這些工具處於數論的前沿。」
原文連結：https：//www。quantamagazine。org/mathematical-trio-advances-centuries-old-number-theory-problem-202211