曲面表面積如何計算
蜂窩的優美形狀既代表最有效的勞動成果，也代表了最高效地使用材料的結晶，它是大自然最偉大的傑作之一。
01
早在公元前36年，古羅馬學者馬科斯·特倫提烏斯·瓦羅在一本關於農業的書中就討論了蜜蜂蜂巢的六邊形結構，是蜜蜂採用最少量的蜂蠟建造成的。
當時有兩種不同的關於六邊形結構的理論，一種理論認為：蜜蜂的蜂巢之所以成六邊形，6是為了更好地適應蜜蜂的六隻腳；而另外一種理論則獲得了當時數學界的支援，即蜂巢的結構可以用蜂巢的等周長特徵給予解釋。
法羅在書中寫道：“蜂巢不是有六個角嗎？幾何學家已經證明：內接於一個圓形中的六邊形包含了最大的空間。”
幾個世紀後，4世紀古希臘數學家佩波斯提出的問題給出了證明，但佩波斯的證明是不完全的。他僅列出了對三種可能情況的比較，即以三角形、正方形和六邊形為例來分隔一個平面。
佩波斯只選擇這三種規則多邊形的原因很簡單，因為只有這三種形狀能夠形成連續排列的幾何圖案而中間沒有空隙，如果有了空隙，外部物質就有可能進入這些空間，從而破壞蜂巢的純潔性。佩波斯在“蜜蜂的智慧”一文中寫到：“與建造其他幾何圖形相比，蜜蜂用同樣的材料（蜂蠟）建造的六邊形蜂巢所佔用的空間大於四邊形和三角形，且能容納更多的蜂蜜。”
但是，問題又出現了，依據六邊形的構造模式，對以給定的面積在一個給定的平面所進行的
分隔
是否為最佳？且邊緣的長度要求為最小？這就是被後人稱為“蜂窩猜想”的命題。
雖然蜜蜂的巢房是一個三維結構，但每個巢房在方向上是均勻的，且垂直於蜂巢的底基。
因此，蜂巢的六邊形截面形狀可以完全用於計算蜜蜂建築巢房所需要的蜂蠟。於是，數學家所關心的蜂窩猜想就變成了一個兩維的平面問題，彷彿是讓蜜蜂在一個寬敞的浴室地面，如何用固定形狀的地磚，來覆蓋整個地面的問題？
生物學家一直假設蜜蜂是想使用最少的蜂蠟來建築它們的蜂巢，但連續排列的正六邊形蜂巢真的是最好的選擇嗎？如果蜂巢的隔牆不是平面而是曲面，那又會是怎樣的情況呢？為什麼巢房的邊必須是等邊的？他們的形狀和大小為什麼是相同的？為什麼不能是一組隨機出現的多邊形組合呢？
據查爾斯·達爾文（Charles Darwin）推斷，蜜蜂進化出使用這種形狀，是因為它能以最小的能量輸入來生產蜂蠟，而製造出最大的巢室儲存蜂蜜。
匈牙利數學家陶斯在1943年巧妙地證明了“在所有首尾相連的多邊形中，能夠連續排列同樣面積的幾何圖形多有六個邊，且只有正六邊形的周長是最小的，而且，六邊以上多邊形所具有的優勢足以抵消不足六邊的多邊形所具有的劣勢，在邊長為直邊的條件下，具有最小周長，且可以對給定平面進行等量分割的方式就是蜂窩的正六邊形”。
但如果多邊形的邊是曲線而不是直線時，會發生什麼情況呢？陶斯認為，正六邊形與其他任何形狀的圖形相比，它的周長是最小的。但是他卻並未能證明這一點。
02
美國密執根大學的數學家黑爾斯教授在1999年提出了對“蜂窩猜想”的證明。蜂窩是一座十分精密的建築工程。
蜜蜂建巢時，青壯年工蜂負責分泌片狀新鮮蜂蠟，每片只有針頭大小。另一些工蜂則負責將這些蜂蠟仔細擺放到一定的位置，以形豎直六面柱體。每一面蜂蠟隔牆厚度及誤差都非常小。6面隔牆寬度完全相同，牆之間的角度正好120度，形成一個完美的幾何圖形。
人們一直疑問，蜜蜂為什麼不讓其巢室呈三角形、正方形或其他形狀呢？隔牆為什麼呈平面，而不是呈曲面呢？雖然蜂窩是一個三維體建築，但每一個蜂巢都是六面柱體，而蜂蠟牆的總面積僅與蜂巢的截面有關。
黑爾斯在考慮了周邊是曲線時，無論是曲線向外凸，還是向內凹，都證明了由許多正六邊形組成的圖形周長最小，他已將19頁的證明過程放在因特網上，許多專家都已看到了這一證明，認為黑爾的證明是正確的。
黑爾得出的結論是：將一個平面分割成同等面積的區域，且具有最小周長的幾何圖形，是正六邊形。許多專家看過黑爾的證明過程之後，都認為他的證明是正確的。
證明的關鍵引理是周長面積的“等周”估計，證明是基於有限簇的縮減。該定理及其推廣在最佳化空間、物理結構和材料浪費方面有直接的應用，例如在建築方面。將該定理推廣到描述蜜蜂蜂巢形狀的三維空間中，成為科學哲學中爭論的話題。
2001年黑爾對自己的證明再次進行了補充。
自此，困擾數學界兩幹多年的猜想似乎被證明了，蜂窩猜想被變成了蜂窩定理，即“以同等面積的區域對一個平面進行分隔，周長為最小的幾何形狀是蜂窩狀的正六邊形”。
03
大自然充滿了像蜂窩這樣蘊含著科學知識的神奇現象，而平平常常的生活中也有不平常的數學問題。
數學家在兩維平面中對蜂窩猜想的證明是正確的，但是在三維空間中的蜂窩猜想（以同樣大小的巢房在空間進行排列，其表面積最小的結構為正六邊形蜂窩結構嗎？）卻依然沒有得到證明。
因為在物理上，它回到了進化的事實，六邊形的形狀。當蜜蜂為一個給定的蜂巢消耗最少的蜂蠟時，科學哲學家們就這一事實的解釋性質提出了幾個問題：這是一種真正的數學解釋，還是生物學解釋，還是兩者的結合？
蜜蜂（和一般的動物）是否具有由進化所提供的符合形式數學的感性數學知識？為什麼蜜蜂“知道”這個猜想的真相，而人類卻要等上兩千多年才能證明
