位異或是什麼意思
計算機的起源是數學中的二進位制計數法。可以說，沒有二進位制，就沒有如今的計算機系統。那什麼是二進位制呢？為什麼計算機要使用二進位制，而不是我們日常生活中的十進位制呢？如何在程式碼中操作二進位制呢？我們就從計算機認知的起源——二進位制出發，講講它在計算機中的“玄機”。
什麼是二進位制計數法？
公元 3 世紀左右，印度數學家（也有說法是阿拉伯人）發明了阿拉伯數字。阿拉伯數字由從 0 到 9 這樣 10 個計數符號組成，並採取進位製法，高位在左，低位在右，從左往右書寫。由於阿拉伯數字本身筆畫簡單，演算便利，因此它們逐漸在各國流行起來，成為世界通用的數字。
日常生活中，我們廣泛使用的十進位制計數法，也是基於阿拉伯數字的。這也是十進位制計數法的基礎。因此，相對其他計數方法，十進位制最容易被我們所理解。
讓我們來觀察一個數字：2871。
其中 ^ 表示冪或次方運算。十進位制的數位（千位、百位、十位等）全部都是 10^n 的形式。需要特別注意的是，任何非 0 數字的 0 次方均為 1。在這個新的表示式裡，10 被稱為十進位制計數法的基數，也是十進位制中“十”的由來。這個我想你應該好理解，因為這和我們日常生活的習慣是統一的。
明白了十進位制，我們再試著用類似的思路來理解二進位制的定義。我以二進位制數字 110101 為例，解釋給你聽。我們先來看，這裡 110101 究竟代表了十進位制中的數字幾呢？
剛才我們說了，十進位制計數是使用 10 作為基數，那麼二進位制就是使用 2 作為基數，類比過來，二進位制的數位就是 2^n 的形式。如果需要將這個數字轉化為人們易於理解的十進位制，我們就可以這樣來計算：
按照這個思路，我們還可以推匯出八進位制（以 8 為基數）、十六進位制（以 16 為基數）等等計數法，很簡單，我在這裡就不贅述了。
至此，你應該已經理解了什麼是二進位制。但是僅有數學的理論知識是不夠的，結合相關的程式碼實踐，相信你會有更深刻的印象。
這段程式碼的實現採用了 Java 的 BigInteger 類及其 API 函式，我都加了程式碼註釋，並且穿插一些解釋，你應該可以看懂。
首先，我們引入 BigInteger 包，透過它和 Integer 類的 API 函式進行二進位制和十進位制的互相轉換。
然後，我們透過一個十進位制數和一個二進位制數，來驗證一下上述程式碼的正確性。
這段程式碼執行的結果是：十進位制數字 53 的二進位制是 110101，二進位制數字 110101 的十進位制是 53。
好了，關於十進位制和二進位制的概念以及進位制之間的相互轉換，你應該都很清楚了。既然有十進位制，又有二進位制，你可能就要問了，為啥計算機使用的是二進位制而不是十進位制呢？
計算機為什麼使用二進位制？
我覺得，計算機使用二進位制和現代計算機系統的硬體實現有關。組成計算機系統的邏輯電路通常只有兩個狀態，即開關的接通與斷開。
斷開的狀態我們用“0”來表示，接通的狀態用“1”來表示。由於每位資料只有斷開與接通兩種狀態，所以即便系統受到一定程度的干擾時，它仍然能夠可靠地分辨出數字是“0”還是“1”。因此，在具體的系統實現中，二進位制的資料表達具有抗干擾能力強、可靠性高的優點。
相比之下，如果用十進位制設計具有 10 種狀態的電路，情況就會非常複雜，判斷狀態的時候出錯的機率就會大大提高。
另外，二進位制也非常適合邏輯運算。邏輯運算中的“真”和“假”，正好與二進位制的“0”和“1”兩個數字相對應。邏輯運算中的加法（“或”運算）、乘法（“與”運算）以及否定（“非”運算）都可以透過“0”和“1”的加法、乘法和減法來實現。
二進位制的位操作
瞭解了現代計算機是基於二進位制的，我們就來看看，計算機語言中針對二進位制的位操作。這裡的位操作，也叫作位運算，就是直接對記憶體中的二進位制位進行操作。常見的二進位制位操作包括向左移位和向右移位的移位操作，以及“或”“與”“異或”的邏輯操作。下面我們一一來看。
向左移位
我們先來看向左移位。
二進位制 110101 向左移一位，就是在末尾新增一位 0，因此 110101 就變成了 1101010。請注意，這裡討論的是數字沒有溢位的情況。
所謂數字溢位，就是二進位制數的位數超過了系統所指定的位數。目前主流的系統都支援至少 32 位的整型數字，而 1101010 遠未超過 32 位，所以不會溢位。如果進行左移操作的二進位制已經超出了 32 位，左移後數字就會溢位，需要將溢位的位數去除。
在這個例子中，如果將 1101010 換算為十進位制，就是 106，你有沒有發現，106 正好是 53 的 2 倍。所以，我們可以得出一個結論：二進位制左移一位，其實就是將數字翻倍。
向右移位
接下來我們來看向右移位。
二進位制 110101 向右移一位，就是去除末尾的那一位，因此 110101 就變成了 11010（最前面的 0 可以省略）。我們將 11010 換算為十進位制，就是 26，正好是 53 除以 2 的整數商。所以二進位制右移一位，就是將數字除以 2 並求整數商的操作。
下面我們來看看，用程式碼如何進行移位操作。
然後，我們用一段測試程式碼驗證下結果。
這段程式碼的執行結果是：數字 53 向左移 1 位是 106；數字 53 向右移 1 位是 26。數字 53 向左移 3 位是 424，數字 53 向右移 3 位是 6。
我來解釋一下。其中，移位 1 次相當於乘以或除以 2，而移位 3 次就相當於乘以或除以 8（即 2 的 3 次方）。細心的話，你可能已經發現，Java 中的左移位和右移位的表示是不太一樣的。
左移位是 <<，那右移位為什麼是 >>> 而不是 >> 呢？
實際上，>> 也是右移操作。簡單來說，之所以有這兩種表達方式，根本原因是 Java 的二進位制數值中最高一位是符號位。這裡我給你詳細解釋一下。
當符號位為 0 時，表示該數值為正數；當符號位為 1 時，表示該數值為負數。我們以 32 位 Java 為例，數字 53 的二進位制為 110101，從右往左數的第 32 位是 0，表示該數是正數，只是通常我們都將其省略。
如果數字是 -53 呢？那麼第 32 位就不是 0，而是 1。請注意我這裡列出的是補碼。
那麼這個時候向右移位，就會產生一個問題：對於符號位（特別是符號位為 1 的時候），我們是否也需要將其右移呢？因此，Java 裡定義了兩種右移，邏輯右移和算術右移。邏輯右移 1 位，左邊補 0 即可。
算術右移時保持符號位不變，除符號位之外的右移一位並補符號位 1。補的 1 仍然在符號位之後。
邏輯右移在 Java 和 Python 語言中使用 >>> 表示，而算術右移使用 >> 表示。如果你有興趣，可以自己編碼嘗試一下，看看這兩種運算子輸出的結果有何不同。
在 C 或 C++ 語言中，邏輯右移和算數右移共享同一個運算子 >>。那麼，編譯器是如何決定使用邏輯右移還是算數右移呢？答案是，取決於運算數的型別。如果運算數型別是 unsigned，則採用邏輯右移；而是 signed，則採用算數右移。如果你針對 unsigned 型別的資料使用算數右移，或者針對 signed 型別的資料使用邏輯右移，那麼你首先需要進行型別的轉換。
由於左移位無需考慮高位補 1 還是補 0（符號位可能為 1 或 0），所以不需要區分邏輯左移和算術左移。
位的“或”
我們剛才說了，二進位制的“1”和“0”分別對應邏輯中的“真”和“假”，因此可以針對位進行邏輯操作。
邏輯“或”的意思是，參與操作的位中只要有一個位是 1，那麼最終結果就是 1，也就是“真”。如果我們將二進位制 110101 和 100011 的每一位對齊，進行按位的“或”操作，就會得到 110111。
位的“與”
同理，我們也可以針對位進行邏輯“與”的操作。“與”的意思是，參與操作的位中必須全都是 1，那麼最終結果才是 1（真），否則就為 0（假）。如果我們將二進位制 110101 和 100011 的每一位對齊，進行按位的“與”操作，就會得到 100001。
位的“異或”
邏輯“異或”和“或”有所不同，它具有排異性，也就是說如果參與操作的位相同，那麼最終結果就為 0（假），否則為 1（真）。所以，如果要得到 1，參與操作的兩個位必須不同，這就是此處“異”的含義。我們將二進位制 110101 和 100011 的每一位對齊，進行按位的“異或”操作，可以得到結果是 10110。
我總結一下，“異或”操作的本質其實就是，所有數值和自身進行按位的“異或”操作之後都為 0。而且要透過“異或”操作得到 0，也必須透過兩個相同的數值進行按位“異或”。這表明了兩個數值按位“異或”結果為 0，是這兩個數值相等的必要充分條件，可以作為判斷兩個變數是否相等的條件。
接下來，我們來學習一下，在程式碼中如何實現二進位制的邏輯操作。Java 中使用|表示按位的“或”，& 表示按位“與”，^ 表示按位“異或”。
同樣，我們寫一段測試程式碼，驗證一下上面三個函式。
這段程式碼的執行結果是：數字 53（110101） 和數字 35（100011） 的按位‘或’結果是 55（110111），數字 53（110101） 和數字 35（100011） 的按位‘與’結果是 33（100001），數字 53（110101） 和數字 53（110101） 的按位‘異或’結果是 0（0）。
小結
今天我們聊了二進位制，你可能會問：學習二進位制究竟有什麼用呢？平時的程式設計中，我們好像並沒有使用相關的知識啊？確實，目前的高階語言可以幫助我們將人類的思維邏輯轉換為使用 0 和 1 的機器語言，我們不用再為此操心了。但是，二進位制作為現代計算機體系的基石，這些基礎的概念和操作，你一定要非常瞭解。
二進位制貫穿在很多常用的概念和思想中，例如邏輯判斷、二分法、二叉樹等等。邏輯判斷中的真假值就是用二進位制的 1 和 0 來表示的；二分法和二叉樹都是把要處理的問題一分為二，正好也可以透過二進位制的 1 和 0 來表示。因此，理解了二進位制，你就能更加容易地理解很多計算機的資料結構和演算法，也為我們後面的學習打下基礎。
思考題
如果不使用 Java 語言自帶的 BigInteger 類，我們還有什麼方法來實現十進位制到二進位制的轉換呢？（提示：可以使用二進位制的移位和按位邏輯操作來實現。）