矩陣相容一定有解嗎
二元線性方程
三元線性方程
線性不等式
線性方程
在社會快速步入5G和物聯網的時代，汽車行業正在發生著深刻的變革，尤其是AI和自動化駕駛、導航技術的結合讓汽車更智慧。這些技術的基礎是數學方程的應用。本章學習如何解線性方程，以及多元方程及其影象。
二元線性方程
之前我們介紹了一元方程的求解，這裡我們解二元方程需要用到方程組的概念。
方程組
：兩個及以上線性方程的組合
如果只是求2x + y = 7 或者 x - 2y = 6的解，那麼它們都有無窮個解，且都是一條直線。把它們組成方程組求解，則是找到兩個方程的公共解（兩條直線的交點）。
求方程組的解有三種方法
影象的方法：影象是否有交點
如上圖例，相交的兩直線對應的方程組有一個解；平行的兩直線對應的方程組無解；重疊的兩直線對應的方程組有無數個解。
至少有一個解的方程組稱為
相容方程組
，無解的方程組稱為
不相容方程組
。
方程組中各個方程有各自的解集，如：兩直線有一個交點或者平行，稱之為
方程相互獨立；
方程組中一個方程所有解也是另一個方程的解，即兩直線完全重疊，稱之為
相關方程組。
雖然用直觀影象的方式得到方程組的解很方便，但在座標系中顆粒度很小或者有非整數解等情況下，很難直觀的得到解。
代換的方法：把方程中一個變數用另一個變量表示，然後代入到其它方程求解
消元的方法：根據加減乘除的性質將方程組中變數減少，再求解的過程
這裡透過兩個方程式相加，消去變數y，5x = 5 可得 x = 1。然後再把x = 1代入其中一個方程求y的解即可。消元思路就是把兩個方程透過加減乘除消掉其中一個變數，並求解另一個變數的解，然後再將得到的解代入其中任一方程中求另一個變數的解。
三元線性方程
與二元類比，三元線性方程的一般式為Ax + By + Cz + D = 0，它的解是（x，y，z）。這就意味著無法在二維座標系中找到解對應的位置，需要三維空間定位它的位置。一個三元線性方程的解是一個平面，要找到三元線性方程組的解就是找這些平面的交點。
三元方程組只有一個解
三元方程組無解 - 1
三元方程組無解 - 2
三元方程組無解 - 3
三元方程組無解 - 4
三元方程組無窮個解 - 1
三元方程組無窮個解 - 2
三元方程組無窮個解 - 3
找到一組解使三個三元方程同時成立稱為解三元方程組。解三元線性方程有三種方式
綜合運用解二元線性方程的消元法和代換法進行降維求解。
消元法的另一種簡單表示形式：矩陣求解
行列式求解
方法1請參考二元方程的求解過程，把消元、代換結合應用，不再贅述。方法2需要了解什麼是矩陣。矩陣是將數字按行列排列的矩形陣列。m行n列的矩陣讀作m*n矩陣，其中每一個數字稱為矩陣的元素或實體。如下
3 * 4 矩陣：3行4列
用矩陣表示線性方程組，我們需要把方程組中各個方程寫成統一的一般式，然後將各項中的係數按列排成縱列構成矩陣。
方程組用矩陣表示：相同變數的係數排成一列
將矩陣轉為方程組形式
以上兩個例子中的矩陣稱為方程組的
增廣矩陣。
方程組以增廣矩陣表示後我們可以透過
行變換
的方式（目的是為了消元）求解。
兩行互換
一行乘以非0倍數
將一行乘以非0倍數加到另一行中
兩行互換
第二行乘以-3倍
第二行乘以-3倍並加到第一行中
對於
相容且相互獨立
的方程組，增廣矩陣透過行變換後可得到梯形矩陣，即矩陣中非常數項係數構成的部分對角線元素為1，對角線左下方元素都為0。
a、b、c、d、e、f 都是實數
梯形矩陣用方程組來表示，再求解
上圖例中梯形矩陣轉為方程組在求解
增廣矩陣作行變換變梯形矩陣的一般思路
第一行第一個元素變1；第二行第一個變0，第二個變1；依次進行
前面是相容且獨立方程組的矩陣應用，確切地說是隻有一個解的情況。那麼對於不相容或相關的方程組怎麼應用矩陣呢？
經過行變換，左邊方程組無解，右邊有無窮個解
方法3行列式求解。首先了解一下什麼是方陣？行、列數相同的矩陣叫方陣。每一個方陣都有一個相關實數，它是行列式的值。
方陣的行列式，它的值ad-bc
求一個3*3方陣對應行列式的值，就要先得到行列式中一個元素的餘子式。行列式中一個元素的餘子式是去掉該元素所在的行和列後，餘下的元素構成的行列式。
不同元素的餘子式
3*3矩陣第一行各元素的代數餘子式
行列式中不同元素項對應的符號
克拉默規則
是用行列式求解方程組的方法，可透過消元法求解一般形式的方程組得到。以二元和三元線性方程組為例
克拉默規則
這裡要注意：當D = 0時克拉默規則就無法應用，同時它意味著方程組中的方程是不相容或者相關的。
線性不等式
關於線性不等式特別是二元線性不等式，可參考【函式及其影象】中所講的方法來確定不等式解範圍。