正方體怎樣解釋
公元前214年，古羅馬名將馬塞勒斯率領大軍襲擊古希臘的敘拉古，卻被阿基米德的彈弓和機械爪擋在城下。羅馬軍隊的統帥不禁感嘆：“這是一場羅馬軍隊和阿基米德一個人的戰爭！”
但是，今天，阿基米德最偉大的遺產不在於彈弓和阿基米德之爪，而在於幾何學。他清晰的論點、他對無窮的把握，以及他已經非常接近微積分的成就。或許，如果再給他一點點外力的推動，他是不是就能到達微積分領域了？那樣的話，微積分在地球上出現的時間會比現在早幾千年嗎？
談到阿基米德，最為人所熟知的，是他那句：“給我一個支點，我就能撬動地球。”阿基米德享有“力學之父”的美稱，與高斯、牛頓並列為世界三大數學家，數學界的“諾貝爾獎”菲爾茲獎獎章上的那個頭像就是他。
但當微積分的萌芽在阿基米德的頭腦中慢慢成形的時候，一名羅馬士兵殺死了他。如果沒有被羅馬士兵殺死，阿基米德會不會發明微積分？讓我們跟隨一本微積分啟蒙書《歡樂數學之瘋狂微積分》，來到兩千年前，看看當時到底發生了什麼。
《歡樂數學之瘋狂微積分》，作者是獲得文津獎推薦的《歡樂數學》作者、耶魯天才老師本·奧爾林。
奧爾林總結了自己10餘年的教學精華，用28個故事和400幅火柴人漫畫，講透了微積分原理精髓。其中包含微積分這種思想的歷史由來、基本概念、微積分原理的形象解釋、充滿趣味、鍛鍊思維的謎題，以及微積分在生活中的應用。
中科院院士、數學家、“微積分爺爺” 林群 高度讚賞：
“這本《歡樂數學之瘋狂微積分》既給大家剖析了微積分的底層思維，又充滿了非常有趣的案例。它對學習者和教學者都有很大的啟發意義，我非常高興把這本書介紹給大家。”
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以下摘文選自《歡樂數學之瘋狂微積分》第24章“與眾神作戰——在這一章，微積分擊退了羅馬人的進攻”
你知道羅馬人是怎樣的吧？他們驍勇善戰、不苟言笑，建造的大理石“垃圾”在世間遺留千年。在公元前212年，他們的軍隊來到西西里海岸，想要征服頑強抵抗的小城錫拉庫薩。正如歷史學家波利比烏斯（Polybius） 所描述的那樣，羅馬人全副武裝而來，乘坐的60艘大船上“載滿了弓箭手、 投石手和標槍手”，更不用說船上那4架巨型攻城雲梯了。
但是，錫拉庫薩人也知道那句古老的諺語，即“如果你在羅馬人的地盤上，羅馬人怎麼做，你就怎麼做”。也就是說，他們現在要做的就是和羅馬人一樣殊死搏鬥。因此，錫拉庫薩人用大大小小的彈弓發射出巨大的石塊、鉛塊和大量的鐵飛鏢。然後龐大的機械爪子從城牆內伸出，鉗住羅馬 的戰艦並狠狠摔下，這些船隻“撞上陡峭的岩石”，“沉入了海底”。
歷史學家普魯塔克（Plutarch）這樣寫道：“羅馬人眼睜睜地看著軍隊被一種不可見的方式擊潰，開始懷疑自己是不是在與眾神作戰。”
事實上，情況比他們想象的更糟：對手不是眾神，而是阿基米德。
如果要你說出一個有史以來最偉大的數學家，阿基米德是個相當可靠的第一選擇。伽利略稱他為“超人”。萊布尼茨對阿基米德讚賞有加，說他拔高了人們對天才的期待，在他的光環之下，後來的思想家們都顯得平平無奇。
伏爾泰則寫道：“阿基米德比荷馬更富有想象力。”誠然，阿基米德從未獲得過數學界最著名的菲爾茲獎，但有一件事卻能證明他的地位之高：菲爾茲獎章正面上的那個頭像就是他本人。
你想感受一下他有多聰明嗎？去拿一個正方體過來，然後把它小心地切成三部分。
這三部分就像三個形狀、大小完全相同的金字塔，而每個金字塔都有一個正方形的底部和一個尖頂。因此，每個金字塔的體積都必須恰好是原來立方體的1/3。
到目前為止，一切都很順利，不過我們才剛剛開始。拿起其中一個金字塔，把它橫向切成無數片，每一片都要非常薄。如果我完成得不錯——畢竟我的刀工笨拙，你最好還是用一把無窮概念刀來檢查我的工作成果——每個橫截面都應該是一個完美的正方形。
最底部的正方形正好就是原來立方體的底部，而最上面的那個正方形則很小很小，只是一個點。在這兩個極端之間是無數箇中等大小的正方形。
現在，讓我們更進一步。把這些方塊想象成無限張紙牌，每一張都很薄。如果將它們重新排列，疊放起來的整體體積並不會改變。這一次，在疊放的時候，我們讓每個正方形的其中一個角重合。你可能會問，為什麼不能把它們扶正，讓每個正方形的幾何中心重合呢？當然能了，這樣一來，就把我們時髦的不對稱金字塔改造成了經典的埃及金字塔風格。
正如此前所說，整體的體積不會改變，仍然是最初那個立方體體積的1/3。
現在，我們得到了計算立方錐體積既巧妙又簡便的方法。在1800年後， 當數學家博納文圖拉·卡瓦列裡（Bonaventura Cavalieri）重新發現這個方法時，他用自己的名字將其命名為“卡瓦列裡原理”。
事實上，這個方法最初起源於公元前5世紀的安提豐（Antiphon，公元前426—前373年，在哲學和數學領域都有突出貢獻。在解決“化圓為方”的問題上，提出了“窮竭法”。），與公元前4世紀歐多克斯（他首先提出了我現在介紹的論證過程）的方法一起發展，在公元前3世紀阿基米德（我們很快會講到他的突出貢獻）的時代達到了無與倫比的高度。為了紀念羅馬人 的恐慌，我將把它命名為“無窮災難原則”。
這個方法很簡單。在一個三維圖形中，當你將橫截面的形狀從正方形換成其他面積相同的形狀時，它的體積並不會受影響。例如，我們可以把正方形換成等面積的長方形，現在這個被拉長的金字塔的體積仍然佔了之前立方體的1/3。
或者在大師級別的終極遊戲中，我們還可以把這些方形都變成圓形。嚴謹地說，用紙筆這樣畫圖只能“化圓為方”，而且在實踐中，這是不可能 做到的。“事必躬親”是為體操運動員準備的名詞，而我們只能在純幾何的天空中滑翔。想象一下，每個正方形都慢慢地變成一個圓，同時它們的面積永遠不變。
我們的金字塔變成了圓錐體，立方體變成了圓柱體。因此，一個圓錐體的體積剛好是和它等底等高的圓柱體體積的1/3。
很酷，對吧？公元2世紀，普魯塔克滔滔不絕地說：“在幾何學中，不可能找到比這更困難、更復雜的問題，也不可能 找到比這更簡潔明瞭的證明……你進行再多的研究也無法獲得證據，然而，一旦看到這樣的證據，你會立刻相信自己已經發現了它。阿基米德透過如此順利和快速的路徑引導你得到所需的結論。”
不過，這些幾何級別的思考並不能讓阿基米德得到“軍事天才”的美譽。人們不禁要問：阿基米德那臺摧毀羅馬軍隊的戰爭機器從何而來？
普魯塔克堅稱：“他設計和製造這些機器時，並沒有把它們當成什麼重要的事，只是作為幾何學上的消遣活動。”雖然這聽起來很奇怪，但這就是數學史中的基本模式。漫無目的地航行在幻想之旅中，然後以某種方式在 未來帶來技術上的突破。
雖然羅馬人不太喜歡純粹的數學探究，但他們肯定敬畏能一舉摧毀船隻的“死亡之爪”。馬塞勒斯將軍在意識到自己猶如反派後（就像《小鬼當 家》中的反派一樣），便和他的部隊撤退了。
幾個月後的一個下午，阿基米德正在沙地上繪製圖表。我更願意認為他當時正在重溫他最喜歡的那個證明過程，也就是他讓朋友和家人在他的墓碑上刻的那個定理。那個始於一個球體的定理。
我們把這個球裝到一個圓柱體裡，使它與圓柱體完美貼合，就像自動發球機裡的網球一樣。
阿基米德的問題是，球的體積佔了圓柱體的多少？（事實上，他的問題更直接一些：球的體積有多大？但是任何對於物體 大小的描述都需要有參照物。例如，把單位英尺作為參照物，我的身高大約為五又三分之二英尺——這就是此處圓柱體的作用所在。）
首先，把整個球對半切開。我們不是把網球放在一個完美貼合的容器裡，而是把一個半球放在一個冰球裡。
現在，我們不考慮半球的內部容積，先來看看它外部的體積。本著“無窮災難原則”，我們可以把這部分想象成一堆疊起來的圓環，而且每個圓環的中間都切一個圓洞。
這一堆圓環的最底部是一個超細的環，它中間的洞非常大，幾乎佔據了整個圓環，只留下一圈極細的邊。與此同時，頂部是一個非常粗的圓環，它幾乎是完整的圓，上面只有一個極小的針孔。而在這兩種極端情況之間，是一系列大小在它們中間的墊圈。
這些圓環的面積是多少呢？透過結合代數運算，我們可以推匯出每個圓環的面積都是πh2； ，其中h是它到地面的距離。
這就意味著藉助“無窮災難原則”，每一個圓環都可以用一個半徑為h 的圓來代替。
看！將它們一個個疊起來後，我們得到的不再是那個怪異的半球狀火山坑，而是一個顛倒的圓錐。
我們已經知道，圓錐體的體積是圓柱體的1/3。因此，空的空間——過 去是半球的那部分——佔了圓柱體體積的2/3。所以得出結論：球的體積為圓柱體的2/3。
有了西西里沙地上的這些圖形，阿基米德憧憬著幾千年以後才會出現的積分。面積和體積、無數個切片、連續性和曲率問題的解決……這些是 積分的化學原料、原始湯劑，而後來的積分正是由此發展而來。那麼，為什麼全世界等待了這麼久，微積分才誕生？
那一天，羅馬軍隊終於攻破了這座城市。不過是短短几個小時，錫拉庫薩就被燒燬了，士兵們瘋狂地搶劫和殺戮。
歷史學家李維（Livy）寫道：“許多暴行都是在頭腦發熱和貪得無厭中犯下的。”即便如此，羅馬軍隊的領袖馬塞勒斯還是認為這位偉大的幾何學家本應在這場戰爭中倖免於難。另一位歷史學家則說：“他拯救阿基米德的功勞幾乎和摧毀敘拉古（如今稱 為錫拉庫薩）的軍功一樣大。”
阿基米德甚至都沒有注意到這座城市的淪陷。對他來說，與沙地上引人入勝的圖形相比，戰爭中的掠奪和破壞又算得了什麼呢？
阿基米德在面對凶神惡煞的羅馬士兵時，到底說了什麼？歷史學家們對此意見不一。也許他懇求道：“請不要破壞我的圓環。”也許他怒斥道：“站遠點兒，夥計，離我的圖形遠點兒。”也許他當時用手擋著沙地上的圖形，彷彿他的思想比生命更寶貴：“衝我的腦袋來，別碰我的圖！”無論真實情況是哪個，大家都一致認為是那個士兵殺害了他。
他的血流淌在沙地上，流到了那些他用手指畫的溝槽中。馬塞勒斯將軍堅持要為他舉行一場體面的葬禮，並以禮物和恩惠來慰問阿基米德的親屬，但這也無法改變這個創造“無窮災難原則”的人死了的事實。
今天，阿基米德最偉大的遺產不在於彈弓和阿基米德之爪，而在於幾何學。他清晰的論點、他對無窮的把握，以及他已經非常接近微積分的成就。或許，如果再給他一點點外力的推動，他是不是就能到達微積分領域了？那樣的話，微積分在地球上出現的時間會比現在早幾千年嗎？
想想數學家阿爾弗雷德·諾斯·懷特海德（Alfred North Whitehead）的證詞：阿基米德死於一名羅馬士兵之手，象徵著世界發生了翻天覆地的變化：熱愛抽象科學的希臘人在歐洲世界的領導地位被務實的羅馬人所取代。
務實主義並沒有錯。嗯……或許，還真的有？19世紀英國首相本傑明·迪斯雷利（Benjamin Disraeli）將務實的人定義為“重蹈先人覆轍的人”。根據懷特黑德的說法，羅馬人就是這樣一個民族。在這個獲勝的文明中，你找不到戰敗民族的想象火花。他們的所有進步都侷限於工程師的一些小小的技術細節。他們沒 有足夠的夢想家……沒有羅馬人會因為專注於數學圖表而喪命。
幾個世紀後，當地的敘拉古人幾乎已經忘記了阿基米德的遺產。古羅馬著名政治家西塞羅（Cicero）在遊歷錫拉庫薩時有心尋找阿基米德的墳墓，他發現它“隱藏在荊棘叢中”，“一根小柱子，就在灌木叢上方”。他從墓碑上的雕刻圖案認出了它，正如阿基米德所要求的，有一個球體和一個圓柱體。
如今，墳墓早已經消失，但證據仍然刻在我們的想象中——那是一種比灰塵、血液或羅馬人的手工石雕更持久的媒介。
原標題：《如果沒有被羅馬士兵殺死，阿基米德能發明微積分嗎？》