相位怎麼變成複數
在雷達系統設計和訊號處理過程中，多處會涉及到複數的應用。例如系統響應分析中，可以透過拉普拉斯變換把問題轉換到頻域分析，在複平面上分析系統的極點和零點；在訊號分析和處理時，用複數可以方便地表示週期訊號，模值表示訊號的幅度，輻角表示訊號的相位。再聯想到複數最初誕生於求解三次代數方程的場合，很多人就認為，引入複數，是為了讓解決問題的過程更便利。其實，這是一種把因果關係搞顛倒的認識。不是引入複數讓問題求解變得簡單，而是複數本來就是我們這個世界物理的一部分，用正確的描述方法來求解現實問題，所以顯得簡便。
描述電場與磁場這種螺旋傳播的正交場，複數是完美契合。複數描述的電場強度與複數磁場強度可以直接相加而不損失各自的資訊，又反映了電場與磁場90度垂直的情況。一旦需要讓任何一個場旋轉90度，只要乘一個“i”就可以了。複數在這個描述裡，體系了兩個因素：實部和虛部正交、這個正交平面沿著某一方向運動。注意，後面的討論會呼應這兩個因素。
下面用線性調頻訊號的例子來說明覆數怎麼讓訊號分析變得方便。用Matlab產生一個複數的線性調頻訊號，繪製時域和頻域圖形。可以看出，訊號的實部和虛部都是有跟現實時間相對應的“負時間”訊號的，這個“負時間”是怎麼出現的，與訊號的複數表達方式有關嗎？這裡再設定一個懸念。
訊號的實部和虛部的頻域曲線如下，這個還不如時域訊號好理解。起碼時域訊號從時間0開始往後延續，可以看出訊號的頻率是加大的。而實部和虛部的頻域曲線，彷彿原本難以理解的問題又有了一次擰巴！
然而，如果直接畫出實部和虛部結合的複數的頻域訊號，整個事情就很清晰了。
忽略上圖複數訊號頻域波形邊緣的衝擊（關於矩形訊號邊緣衝擊的現實意義，以後再開專門文章討論），可以看出複數的頻域圖形完美展示了訊號在頻帶內是線性分佈的。並且，頻率分佈的頻寬也可以清晰展現。在雷達系統中，有了頻寬，系統的匹配濾波器、射頻通道指標、測距的能力等等引數，就躍然紙上了。圖中，不能忽視一個“負頻率”的概念，直觀的理解是，只要我們指定一箇中心頻率，比這個中心頻率高的是正頻率，比這個中心頻點低的是負頻率。那如果中心頻率是0，也就是靜止不動呢，負頻率是什麼物理意義？
上面，我們看到了複數在訊號頻域分析和電磁波描述的方便性，但過程中那個“負時間”的現象是怎麼產生的？“負頻率”是什麼意思？從這兩個問題入手，先數學再物理逐層討論複數的現實物理意義。
頻率的原始定義是某運動實體1秒內穿過基準位置的次數。在數學上，如果把我們理解的實數畫一條軸，再定義一個原點和與實數軸垂直的線作為虛數軸的話，複數就是位於這個二維平面內的一個點。到了複數表示的二維平面，頻率的定義就擴充了，不再侷限，而是用來描述旋轉的快慢。這裡就有了角頻率，Ω=2πfrad/s。也就是說，複數空間的旋轉投影到實數軸上，就是頻率的原始定義。二維平面旋轉一週，恰好投影到實數軸一個正弦週期。至於旋轉圓之上再疊加旋轉，讓實數軸訊號接近方波，屬於“萬物皆可傅立葉”的問題，可以再起文章討論，可能會扯到生命的意義，敬請期待吧。
言歸正傳，再複數平面，既然是旋轉，那麼就有旋轉方向的差別，以逆時針旋轉頻率為正，那麼順時針旋轉頻率就為負頻率了。因此，複數平面的傅立葉變換中，負頻率是有物理意義的，不是隻有數學意義的東西。數學上挺清楚了，但數學上為什麼可以這樣處理，這樣處理的複數平面如何反映現實世界的物理現象，還是個值得進一步研究的問題。
對現實世界的描述，首先是空間的概念。人類有刻在基因裡的找“定位”的需求，我在什麼位置、我離你有多遠、你逃跑了100步我才逃跑50步……在任一個思考的時刻，或者說任一個思考的“位置”，一切都是靜止的、確定的。亞里士多德說 “任何事物在同一時間是不能既為是又為非的”，就是描述了一種靜止確定態。在人類能夠感知的這個三維空間，就是指某個確定態對應的三維位置。然而人類更多的感受卻並非是靜止的某種狀態，而是變換的某個過程，如果說不存在一個最小的“感受停留”單位的話，那麼根本就不存在靜止確定態，而是任何時候都是變化的。為了便於描述這種變化，人類發明了“時間”這一概念，並公認了秒、分鐘、小時這樣的“感受停留”單位，從而確立了靜止確定態的存在，實現了彼此感受的交流和傳遞。在這種思維邏輯下，實數空間被認為是理所當然，虛數變得難以理解。而本質上，變化才是永恆態，時時刻刻我們感受的三維空間都會變得跟之前不一樣，也不會與之後任何一個狀態一樣，其根本原因是我們所處的這個宇宙是運動的。不管是膨脹的或是收縮的，或是膨脹和收縮交替進行的，它總是連續變化的。複數誕生於微分方程，就是因為微分代表了物件的變化速率；所謂的“負時間”，不過是觀察點之前的變化狀態；所謂的“負頻率”，不過是定義的旋轉方向相反的那個方向。不帶正負號的數是純粹的外延量，帶正負號的數才反映了本質的對立或方向的相反；正負數之間的零是沒有量的外延，只是人類感受到的現實的拿來討論的那個位置，與正負數形成了無和有的相對。複數，就是把描述物件的位置和它的變化率同時表現在二維平面而已。
萊布尼茲說“虛數是美妙而奇異的神靈隱蔽所。”
尤拉說“它們純屬虛幻。”
其實，虛數的現實物理意義，可以從狹義相對論直接推論出來：
分母中，當速度v超過光速c的時候，就出現了虛數i。也許，在一個膨脹的宇宙中，超過光速變化的空間是虛幻的、奇異的、神靈的；在一個收縮的宇宙中，高於光速變化的空間才是真實的、普通的、物質的。
茫茫人海，芸芸眾生如同浩瀚沙漠中的塵埃，看起來一樣，其實每顆都完全不同。每個人都是獨特的，千差萬別，而且自身也是隨著膨脹的宇宙連續變化的。我們從來就不可能有完全不變的感受，更不可能真切地感知到別人的內心世界，這個世界唯一不變的就是變化。知道了這個道理，就明白了複數的現實意義；知道了這個道理，就明白了為什麼你沒經歷過別人的經歷，就不該對別人的人生指指點點。