實部虛部指的是什麼
數學界有兩句著名的調侃：“如果魔鬼與一位數學家做交易，允許他用靈魂交換一個命題的證明，那他大機率會選擇黎曼猜想的證明”，以及“如果500年後黎曼活過來了，他要問的第一件事就是黎曼猜想證明了嗎？”這個由德國著名數學家黎曼提出的難題，已經困擾世人一個半世紀。
前段時間我們聊“三體問題”的時候，其中就說到了“希爾伯特問題”，黎曼猜想就在這23個問題之中。
希爾伯特
去年九月，菲爾茨與阿貝爾雙料得主邁克爾·阿蒂亞爵士宣告證明了黎曼猜想，並在隨後貼出了證明黎曼假設（猜想）的預印本。但是這一證明並不成立。
雖然在黎曼猜想的證明現場，阿蒂亞爵士進行了現場講解，提問環節更是全場陷入沉默，然而眾多數學家表示：
阿蒂亞爵士對黎曼猜想的證明只是推演物理學中精細結構常數α的副產品，建立在馮·諾依曼和弗里德里希·希策布魯赫工作的基礎之上。在第二節定義的TODD函式就不靠譜，而這恰恰是證明的關鍵所在。
簡單來說，阿蒂亞是用了一個TODD函式的公式，假設有與黎曼猜想矛盾的點存在，這個公式是收縮的，那麼就可以把一個個點代入這個公式，如果沒有一個點成立，那麼他就證明了黎曼公式。然而，這個TODD函式在他上一次在海德堡論壇上釋出時，就被當場指出是錯誤的。
阿蒂亞爵士的一些證明過程細節，看得懂的可以自己推算一下
中科大數學系教授歐陽毅曾表示“這不是一次嚴肅的嘗試，甚至連錯誤都算不上。在論述中沒有使用到zeta函式的任何性質，而這在黎曼猜想中很關鍵。”
當然，雖然並沒有證明黎曼猜想，但是阿蒂亞爵士依然是當代最偉大的數學家之一，他證明了阿蒂亞-辛格指標定理，在拓撲、微分方程、數學物理、代數等領域都有傑出成就。
那麼黎曼猜想究竟是怎麼呢？它為什麼這麼難證明呢？
如果說，數學是人類智慧的皇冠，那麼數論就是皇冠上的明珠，而黎曼猜想則是明珠上最難擦拭掉的那個斑點。很多數學家表示，如果數學世界只剩下一個難題，那麼一定是黎曼猜想。
美國的克萊數學研究所公佈的七大千禧年數學難題，每個懸賞一百萬美金，黎曼猜想名列第一。
黎曼是一名非常極具創新精神的數學家，他在十幾歲的時候就曾只用6天的時間讀完了厚達859頁的勒讓德數學名著《數論》，他的老師就是著名的“數學王子”高斯，他擅長對概念的創造與想象，黎曼ζ函式，黎曼積分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼空間，黎曼映照定理，黎曼-希爾伯特問題，柯西-黎曼方程，黎曼思路迴環矩陣都是他的成果。
黎曼幾何不但導致了另一種非歐幾何，橢圓幾何學的誕生；而且，更出乎意料的是，它竟然在半個多世紀後引導愛因斯坦成功地創立了廣義相對論
。如今，黎曼幾何已成為理論物理學必備的數學基礎了。
黎曼
1859年，黎曼被選為選為了柏林科學院的通訊院士。作為對這一崇高榮譽的回報，他向柏林科學院提交了一篇題為《論小於已知數的質數個數》的論文。這篇只有短短八頁的論文就是黎曼猜想的“誕生地”。
簡單來說，黎曼猜想究竟講了什麼呢？就是一個尋找質數的方法。
什麼是質數呢？我們應該在初中就學習過，就是指那些只能被1和自己所整除的數，如2、3、5、7、11等等。質數的研究屬於數論的範疇。
早在古希臘時期，歐幾里得的《幾何原本》中就有對質數的研究。歐幾里得採用反證法證明了質數有無窮個。
在《幾何原本》裡，歐幾里得假若質數只有有限多個，設最大的一個是P，從2到P的全體質數是：2，3，5，7，11……，P。所有的質數都在這裡，此外再沒有別的質數了。
現在，我們來考察上面從2到P的全體質數相乘、再加上1這個數，設它是A，即A=2×3×5×7×11×……×P+1。A是一個大於1的正整數，它不是質數，就是合數。
如果A是質數，那麼，就得到了一個比質數P還要大的質數，這與質數P是最大質數的假設矛盾。
如果A是合數，那麼，它一定能夠被某個質數整除，設它能被g整除。
因為A被從2到P的任何一個質數除，餘數都是1，就是都不能整除，而質數g是能整除A的，所以質數g不在從2到P的全體質數之中。這說明質數g是一個比質數P更大的質數，這又與P是最大的質數的假設矛盾。
上面的證明否定了質數只有有限多個的假定，這就證明了質數是無窮多個。
至此之後，數學家們都費勁心思想要找尋質數分佈的規律。著名數學家尼克爾·奧里斯姆就曾研究出新的函式-調和級數發散。推動了後來對質數規律的研究。而尤拉的乘積公式則推動了“數學王子高斯”和另一位數學大師勒讓德提出了質數定理：
從不大於n的自然數中隨機選一個，它是質數的機率大約是1/ln n。
在經過先輩的不斷研究突破之後，黎曼發表了這篇《論小於已知數的質數個數》論文探究質數分佈的奧秘。
論文手稿
黎曼透過研究，發現質數出現的頻率的規律，提出了
黎曼Zeta函式
，黎曼Zeta函式是一個無窮級數的求和。
Zeta函式
黎曼對解析延拓後的Zeta函式證明了其具有兩類零點。其中一類是某個三角sin函式的週期零點，這被稱為平凡零點；另一類是Zeta函式自身的零點，被稱為非平凡零點。
針對非平凡零點，黎曼提出了三個命題。
第一個命題
，黎曼指出了非平凡零點的個數，且十分肯定其分佈在實部大於0但是小於1的帶狀區域上。
然而黎曼的這篇論文文字極為簡練，甚至簡練得有些過分，因為它包括了很多“證明從略”的地方。而要命的是，“證明從略”原本是應該用來省略那些顯而易見的證明的，黎曼的論文卻並非如此，他那些“證明從略”的地方有些花費了後世數學家們幾十年的努力才得以補全，有些甚至直到今天仍是空白。
黎曼 zeta 函式在直線 Re（s） = 1/2 上的第一個非平凡零點
（若黎曼猜想證明為真，則該函式的所有非平凡零點，即兩影象的交點均會出現在該直線上）
在這第一個命題裡，不知道是不是和高斯學習的緣故，黎曼就曾表示，這麼簡單的問題，一看就明白了，還需要算和證明嗎？
可能大神不理解凡人的苦吧！在40年之後，芬蘭數學家梅林經過苦苦思索，雖然沒有成功證明第一個命題，但是卻取得了一些小突破。在46年之後，第一個命題最終才由德國數學家蒙戈爾特在給出了完整的證明。
第二個命題
，黎曼提出所有非平凡零點都幾乎全部位於實部等於1/2的直線上。
關於第二個命題，黎曼自己表示已經證明出來了，因為他覺得命題的證明還沒有簡化到可以發表的程度，所以他並沒有講出來是怎麼樣證明的。然而，還沒有等他把簡化的證明方式放出來，因為飽受病痛折磨，黎曼39歲就英年早逝。不得不說是數學界的一個遺憾。
迄今為止，第二個命題依然沒有被證明出來。但是許多數學家開始利用反證法想去證明第二個命題是錯誤的，如果一旦發現某一個零點並不位於實部是0。5的直線上，這樣不就說明了第二個命題不成立了嗎
黎曼 zeta 函式 ζ（s） 在區間-5 < Re < 2， 0 < Im < 60 內實部和虛部
1903年，丹麥數學家第一次算出了前15個非平凡零點的具體數值。在黎曼猜想公佈44年後，人們終於看到了零點的模樣。毫無意外的是，這些零點的實部全部都是0。5。
1925年，李特爾伍德和哈代改進了計算方法，算出前138個零點，這基本達到了人類計算能力的極限。
73年後，也就是1932年。一位德國數學家Siegel整理黎曼僅存的手稿，讓黎曼當時演算零點所用的公式重見天日，這個公式被命名為Riemann-Siegel公式。
要知道，黎曼的手稿在他去世後有很大一部分被他的管家付之了一炬，只有一小部分被他妻子搶救了出來。在劫後餘生的手稿中，又有一部分被他妻子以涉及私人資訊為由 “剋扣” 掉了 （其中包括許多幾乎通篇都是數學，只夾帶了極少量私人資訊的手稿），剩下的才是後人真正可以查閱的。那些可供查閱的手稿被收錄於哥廷根大學的圖書館。
這不得不說又是數學界的一個損失。
為Riemann-Siegel公式震驚了整個數學界，因為這一公式比73年後數學家們所用的公式還要先進；數學界也更加為黎曼的思想以及猜想的前瞻性所折服。
由此可以看出來黎曼說自己證明了第二個命題所言非虛，可惜不把證明過程留下就駕鶴西去，讓無數數學家為這個問題想破了腦袋，窮盡了畢生心血。
藉著這一公式，後來的數學家與計算機科學家們透過計算機已經驗證了超過前200億個非平凡零點都在臨界線上，但是隻要沒有找到一個不再臨界點上，那麼既無法證明第二個命題是正確的，也無法證明是錯誤的，相當於做了無用功。
但數學畢竟不是經驗科學，這並不能證明第二個命題正確。
第二個命題的證明推進到“至少有40%的非平凡零點在臨界線上”，就再也沒有新的進展了。
而第三個命題
就是重頭戲了：很可能所有非平凡零點都全部位於實部等於1/2的直線上。這條線，從此被稱為臨界線。而最後這個命題，就是讓後世數學家如痴如醉且寢食難安的黎曼猜想了。
關於第三個命題，即使是黎曼自己也不敢確定。即使到現在，也依然沒有人能夠給出答案。
相比於哥德巴赫猜想雖然沒有最終證明，但是中國數學界陳景潤1966年已經證明了 “1 + 2 ”，而英國數學家懷爾斯也把費馬大定理給證明了。黎曼猜想至今依然沒有人能夠完全最終破解！
為什麼大家都爭先恐後想要去證明黎曼猜想呢？因為質數在生活中的運用非常常見，包括資訊保安和網路空間安全，乃至量子計算。
因為人類還沒有發現質數的規律，以它作金鑰進行加密的話，破解者必須要進行大量運算，即使用最快的電子計算機，也會因求質數的過程時間太長而失去了破解的意義。
現在普遍使用於各大銀行的是RSA公鑰加密演算法 ，基於一個十分簡單的質數事實：將兩個大質數相乘十分容易，但是想要對其乘積進行因式分解卻極其困難，因此可以將乘積公開作為加密金鑰。
黎曼猜想中的質數行為，更酷似量子力學中的“測不準原理”，雖然你可能不知道單個分子確切位置，但是你可以確定這個房間大致的分子分佈，素數這難以捉摸的行為特別像量子幽靈掌握的微觀世界。
在這150多年裡，數學界一直沒有停止對黎曼猜想的探索。黎曼猜想及其推廣形式一旦被證明，數學中將史無前例地於“一夜間”新增1000多條定理，這將對數學的面貌產生非同小可的影響。所有直接間接用到那些命題的領域也將程度不等地受到影響。
反之，如果黎曼猜想被否證，則那些數學命題中起碼有一部分將成為陪葬。 那些建立在黎曼猜想上的推論，可謂是一座根基不穩、搖搖欲墜、令人惶恐不安的大廈。
無數前赴後繼的數學家耗盡一生心血的成果將成為一堆廢紙，付之一炬。
不過相比於費馬大定理300多年後才被人證明，哥德巴赫猜想200多年後才被人不完全證明，才誕生150多年的黎曼猜想還很年輕。數學家們依然對證明它懷有極大的信心。
李永樂老師講解黎曼猜想
可以說，如果黎曼猜想最終被證明，這將成為21世紀最偉大的數學進展，即使沒有證明，黎曼猜想也像一個寶庫一樣，因為解決一個重要的問題雖然重要，更重要的是在解決問題的過程中好幾種全新的數學思想誕生了！
