蠟燭一長一短代表什麼
有家長提問——
兩根僅長度不同的蠟燭豎直浮在水面上，無論長短，露出水面部分總是水下部分的1/7，剛開始，短蠟燭的總長度是長蠟燭露出水面部分的4倍，同時點燃後1小時，短蠟燭的總長度恰好等於長蠟燭露出水面部分，試問兩根蠟燭各還需繼續均勻燃燒多長時間，才能全部燒完？
【思路】
這是一道變比問題，變比問題通常存在不變數
［1］
；
變比前與變比後的不變數是兩根蠟燭的長度差
［2］
；
統一不變數的份數，使得變比前的每一份與變比後的每一份相等
［3］
；
根據燃燒1小時蠟燭減少的份數，按正比例關係計算兩根蠟燭還需燃燒的時間
［4］
。
【步驟】
差不變的變比問題，統一不變的差的份數
【詳解】
如上圖所示，設剛開始長蠟燭露出水面的部分長度為a，則剛開始短蠟燭的總長度為4a，又因為蠟燭露出水面的部分是整根蠟燭的“冰山一角”，水下的長度是水上的7倍，所以長蠟燭的總長度可表示為：a+7a=8a，那麼剛開始長蠟燭總長度與短蠟燭總長度的比為——
8a：4a=2：1；
1小時後，兩根蠟燭的長度都發生了不同程度的減少，設此時長蠟燭露出水面部分的長度為b，則此時短蠟燭的總長度也為b，又因為一根蠟燭任何時候水下部分的長度都是水上的7倍，所以長蠟燭的總長度可表示為：b+7b=8b，那麼1小時後長蠟燭總長度與短蠟燭總長度的比為——
8b：b=8：1；
從2：1變為8：1，我們能簡單認為“長蠟燭變長了6份，短蠟燭長度不變”嗎？這個結論顯然與我們的實際觀察不符
［5］
；究其原因，是因為“2：1”中的1份與“8：1”中的1份代表的長度不同
［6］
；
題目說兩根蠟燭“僅長度不同”
［7］
、“同時點燃後1小時”
［8］
，言外之意就是它們在1小時內減少了相同的長度
［9］
，根據同增同減差不變
［10］
，可以知道兩根蠟燭的長度之差不隨燃燒而改變
［11］
；
燃燒前的長、短蠟燭長度比為2：1，長度相差2-1=1份；燃燒後的長、短蠟燭長度比為8：1，長度相差8-1=7份，既然長度之差不變，我們就不能讓它一會兒是1份一會兒是7份，而應統一為［1，7］=7份
［12］
；
為了讓長度相差7份，2：1需要擴成原來的7倍：2×7：1×7=14：7；
為了讓長度相差7份，8：1需要擴成原來的1倍：8×1：1×1=8：1；
我們終於得到了這道題真正的變比過程：14：7→8：1；
現在我們可以說，“14：7”中的1份與“8：1”中的1份是相等的、具有可比性的
［13］
；
1小時內，長蠟燭從14份燃燒到還剩8份，燃燒了14-8=6份；
1小時內，短蠟燭從7份燃燒到還剩1份，燃燒了7-1=6份；
檢驗：①兩根蠟燭在相同的1小時內均燃燒了6份，符合題意；②兩根蠟燭燃燒前相差14-7=7份長度，燃燒了相同長度後相差8-1=7份長度，長度之差保持不變，符合題意；
既然蠟燭的燃燒速度是6份/時，還剩下1份的短蠟燭只需再燃燒：1份÷6份/時=1/6小時就全部燃燒完；
還剩下8份的長蠟燭只需再燃燒：8份÷6份/時=4/3小時就全部燃燒完。
答：短蠟燭、長蠟燭分別需繼續燃燒1/6小時、4/3小時才能全部燒完。
【總結】
變比問題的特徵是變化前有一個比，變化後有另一個比；
兩個比一開始不具有可比性，因為“單位1”（或者說1份量）不統一，就好比兩個國家貨幣價值不統一，我們無法單純從比的份數中看出大小（比方說變比前的5份不一定比變比後的2份大）；
應對的辦法就是找到不變數——不變數通常是兩個變數的其中一個（單量），又或是它們的和與差，這個不變數不會隨變比而改變，但這個不變數對應的份數通常在變比前與變比後是不同的，我們的目標就是把不變數的對應的兩個不同份數統一成它們的最小公倍數那麼多份
［14］
；
隨著不變數的份數擴倍，變比前與變比後的比也應根據比的性質跟著擴倍
［15］
；
擴完倍之後的比就具有可比性了，透過量份對應，即可求出目標量。
【參考】
^
兩個變數的數量之比隨某次變化而改變的問題，根據變比原因的不同，變比過程中通常會保持兩個變數的其中一個不變（即單量不變），又或者是和不變或差不變。
^
題目說兩根蠟燭僅長度不同，所以可認為它們的燃燒速度是相同的，又因為它們是同時點燃，燃燒的時間都是1小時，所以燃燒的長度是一樣的，根據同增同減差不變可以推出兩根蠟燭的長度差不隨燃燒而改變。
^
只有當變比問題中的不變數的份數統一時，變比前的比與變比後的比才具有可比性；舉個例子，變數A與變數B從7：5變為2：1，我們能認為“A減少了5份B減少了4份”嗎？要知道，變比前的1份是可能價值1元，變比後的1份可能價值1美元，那麼變比前的比與變比後的比就不具有可比性，（可能變比前的5份都沒有變比後的1份價值大），除非我們找到一個不變數C，它的價值不隨A與B的變比而改變，然後我們以它為中介，將它的價值定義為n份，只要能求出A與B在變化前與C是幾比幾，變化後與C是幾比幾，就能真實反映出A與B的價值改變了幾份。（因為此時的每1份價值是相等的。）
^
此題中的蠟燭燃燒我們進行理想化處理：①蠟燭燃燒是勻速持續進行的；②蠟燭燃燒是同時開始的；③兩根蠟燭每時每刻的燃燒速度相同；④蠟燭一定會從始至終完全燒完；在這些理想化條件下，如果蠟燭1小時燃燒6份，那麼燃燒3份就只需半小時，燃燒長度與時長成正比。
^
長蠟燭短蠟燭經歷了1小時的燃燒後都變短了。
^
燃燒前的短蠟燭經過燃燒後長度一定變短，那麼短蠟燭燃燒前後的長度比絕不可能是1：1，所以推得燃燒前的1份與燃燒後的1份代表的長度是不相等的。
^
也就是說除了長度以外的材質、粗細、形狀等全都是一樣的，從而推得兩根蠟燭的燃燒速度相等。
^
兩根蠟燭同時點燃，也就是說點燃後經歷了共同的1小時，燃燒時長相等。
^
類比行程問題中的等量關係“路程=速度×時間”可得“燃燒長度=燃燒速度×燃燒時間”，既然燃燒速度與燃燒時間都相等，那麼兩根蠟燭燃燒了的長度也一定相等。
^
由等式的性質：設A-B=C，若A、B同時增加或減少相同的數d，則（A±d）-（B±d）=C，因此對變數A變數B而言，同增同減差不變。
^
準確地說應該是在短蠟燭全部燃燒完之前兩根蠟燭的長度之差不變。
^
將不變數份數統一為原來的兩種份數的最小公倍數。
^
因為長度之差不變，不變的長度之差對應的份數都是7份，那麼每一份必然是相等的。
^
舉個例子，甲乙的蘋果數之比為2：3，乙給了甲40個之後，甲乙蘋果數之比變為2：1，我們知道，無論甲乙怎麼交換，蘋果總數不變，而一開始蘋果共有2+3=5份，之後蘋果共有2+1=3份，事實上蘋果總數不變，那麼將5份與3份統一為［5，3］=15份即可。
^
接著上面的例子，變比前2：3共5份，想要擴倍為總和15份，就應前項後項乘3得6：9；變比後2：1共3份，想要擴倍為總和15份，就應前項後項乘5得10：5。