實連續函式什麼意思
函式極限理論的確立，也意味著整個微積分乃至數學分析的理論基礎已經牢固。
大表哥有必要幫同學們回憶下第三章，當函式的自變數趨於某固定點時的極限，如下
從定義不難看出，連續意味著函式的極限存在，不僅存在，而且恰好等於在這點處的函式值。再從上述（1）式猜想，接下來必涉及左連續和右連續的概念（請讀者思考為什麼大表哥有如此自信的猜想，如果你的理由是：因為已經知道了後面的知識，則是標準的零分）。
利用上述 ε－δ 定義證明在某點連續時，請對比函式極限的 ε－δ 證明思路！考研會直接考證明題！教材上有個檔次極高的例題，如下
這個例題可能是分析中你遇到的第一個BOSS，如果本例的證明你能看懂，那麼恭喜你，你的分析已經達到了一個較高的段位。如果不能理解證明中戴爾他的取法，請按部就班地認真學習，也請關注大表哥的複習指南更新，我在本章對應的影片中會有詳細的講解，而且保證每個人都能打通任督二脈，衝破玄關！
馬克思告訴我們，萬事萬物都是對立統一的，有連續的地方就一定有不連續！是的，老馬識途，他錯不了！有圖有真相！
由此也有了間斷點的分類：第一類間斷點和第二類間斷點！
間斷點的考察，對於數學專業來說並不重要（公共數學考研一般出一個4分的選擇題），因為間斷的性質並不“好”。就像你考研一樣，複習三五天，間斷了。努力一個周，間斷了。堅持了一個月，間斷了！那還考個球球！
我們需要大量的連續函式，因為連續函式在某點連續時，具有區域性有界性，區域性保號性，四則運演算法則和複合的性質。這些性質都很容易證明，而且幾乎和函式極限存在的證明雷同。
函式在閉區間上連續，那性質就更“好”了！
閉區間上連續函式的四大性質，即有界性，最值性，介值性，一致連續性，是考研分析亙古不變的重點！請認真對待！
大表哥強烈建議同學們把教材上出現的有界性的引理，當成定理！
介值性定理有一個常考的推論，稱為零點定理或根的存在性定理，
以上五個結論本身的證明，都有一定的難度，尤其介值性定理的證明（這個定理也可以當成檢測分析段位的一個標準）。
而考研數學分析至少考查上述五個結論中的某個，尤其是其應用（也有很多學校考過結論本身的證明！比如西北大學，陝西師範大學就分別考過有界性和最值性的證明）！
上述五個結論，沒有最重要，只有更重要！
大表哥特別要強調的是，最最重要的一致連續性！
一致連續是連續函式的一個整體性質，即：自變數兩點之間的距離離得很近時，因變數之間的距離就不能離得太遠。自變數的變化和因變數的變化保持一致，沒有出現大起大落跌宕起伏一波三折的傳奇人生，而是兢兢業業認認真真日復一日，最終肯定會一步一步穩穩當當如願以償地迎娶美富白，當上CEO，走上人生巔峰（算了，你還是努力攻讀理學博士吧）。
定義一般可以解決一個具體函式的一致連續問題，
比如證明線性函式的一致連續性，
大表哥的三個英文標題，你一定看的一頭霧水，哇哈哈哈，那就對了，這叫資訊加密！關注我的影片喲，會有詳細說明！
圖中例10給出的是個等價的刻畫，往往也可以用它證明不一致連續！
而圖中例12，以及本節課後的第14題，都是充分條件！
一致連續性的考察，很多院校都會考一個大題！請同學們在複習的時候，給與高度重視並且高度自練！
本章的第三節——初等函式的連續性，同學們不用深究，只需要記住兩個常識性的結論即可：
至於本章的課後練習，還是和之前的要求一樣，請努力獨立地去完成橫線上面的題目，有難度的題目可留到暑假強化階段。
咱們第五章見！
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