如何確定費馬點
三角形內，存在著一個特殊的點，這個點到到三角形三個頂點距離之和是最小的，這樣的點我們稱之為費馬點，這個最小的距離叫做費馬距離。若三角形的內角均小於120°，那麼三角形的費馬點與各頂點的連線三等分費馬點所在的周角；若三角形內有一個內角大於等於120°，則此鈍角的頂點就是到三個頂點距離之和最小的點。今天我們就來詳細的研究費馬點有關的數學問題。
1。若三角形有一個內角大於等於120°，則此鈍角的頂點即為該三角形的費馬點
已知：如圖在△
ABC
中，∠
BAC
≥120°，求證：點
A
為△
ABC
的費馬點
2。若三角形的內角均小於120°，則以三角形的任意兩邊向外作等邊三角形，兩個等邊三角形外接圓在三角形內的交點即為該三角形的費馬點．
已知：如圖，在△
ABC
中三個內角均小於120°，分別以
AB
、
AC
為邊向外作等邊三角形，兩個等邊三角形的外接圓在△
ABC
內的交點為
O
，求證：點
O
為△
ABC
的費馬點
此時
ABAC
為邊向外作等邊三角形，兩個等邊三角形的外接圓在△
ABC
內的交點即為點
O。
如圖，在△
ABC
中，若∠
BAC
、∠
ABC
、∠
ACB
均小於120°，
O
為費馬點，則有∠
AOB
＝∠
BOC
＝∠
COA
＝120°，所以三角形的費馬點也叫
三角形的等角中心
【典型例題1】
如圖，在平面直角座標系中，點
A
的座標為（－6，0），點
B
的座標為（6，0），已知點C座標，延長
AC
至點
D
使得
CD
＝
AC
，過點
DE
作
DE
//
AB
，交
BC
的延長線於點
E
，設
G
為
y
軸上的一點，點
P
從直線
y'
與
y
軸的交點
M
出發，先沿
y
軸到達點
G
，再沿
GA
到達點
A
，若點
P
在
y
軸上運動的速度是它在直線
GA
上運動速度的2倍，試確定點
G
的位置，使點
P
按照上述要求到達
A
所用的時間最短？
【典型例題2】
A
、
B
、
C
、
D
四個城市恰好為一個正方形的四個頂點，要建立一個公路系統使得每兩個城市之間都有公路相通，並是整個公路系統的總長度為最小，則應當如何修建？
