教師為什麼要研究教材
研究教材是教師專業發展的重要內容之一，是教師從“教書匠”走向卓越教師的發展之路，同時也是教師備課的重要環節。作為一名學科教師，研究教材是教師的基本功，研讀教材是研究教材的第一步，也是關鍵的一步。研讀教材要思考以下幾個問題。一是讀懂教材的各個細節，不放棄每一個細微之處，達到對知識理解的廣度；二是對知識的來龍去脈一定要理解，最好是從歷史的角度出發理解定義、概念以及這些概念呈現出來的思想方法，達到對知識的深度理解；三是從知識內容展現出來的思想方法，從承載的方法、蘊含的思想和孕育的精神去研究，達到理解教材的高度。下面以《雙曲線及其標準方程》為例，說明一下如何達到真正理解教材。
首先從本節知識內容的廣度來認識本節知識內容。從課題可知，本節知識內容就是講清楚雙曲線的定義，如何從定義得出雙曲線的標準方程？同時雙曲線還有哪些幾何特徵？（此處只談雙曲線的焦點三角形）。可以知道這樣的研究思路來源於我們前面學習過的《橢圓及其標準方程》與這一節的研究思路類似，但是也有區別，特別是注意研究過程中的區別和聯絡。在教材中的探究部分，使用資訊科技進行探究，可以在幾何畫板中進行演示，在直線l上取兩個定點A、B，P是直線l上的動點。在平面內，取定點F1、F2，以F1為圓心、線段PA為半徑作圓，再以F2為圓心，現代PB為半徑作圓。當點P線上段AB上運動時，如果││PA│－│PB││＜│F1F2│＜│AB│，那麼兩圓相交，其交點的軌跡是橢圓。在│AB│＜│F1F2│＜│PA│＋│PB│的條件下，讓點P線上段AB外運動，這時動點M滿足什麼條件？兩圓交點的軌跡是什麼形狀？此處通過幾何畫板演示得出雙曲線的定義。這個定義為什麼與橢圓定義直接拉線畫出有什麼不同？
在雙曲線方程的化簡過程中，為什麼要移項，不移項能不能化簡得出方程，化簡過程中每一步都是同解變形嗎？最後在得出焦點在x軸上的標準方程中，能不能得出焦點在y軸上的標準方程？從本節知識內容出發，知識體系就安排到這兒差不多一節課的時間了。這樣的安排一定要把所涉及的知識內容講完。
其次如何在知識的深度上進行教學，主要討論為什麼2a小於F1F2？推導方程過程中直接兩邊開平方行不行？有沒有更簡單的推導過程？焦點在y軸上的標準方程要不要親自動手推一遍？在標準方程的推導過程中，焦半徑公式的體現也出現在推導步驟中，此處有必要告訴學生焦半徑公式嗎？
最後在知識內容的高度上進行研究，討論a的範圍有沒有必要？提示學生在雙曲線方程的推導過程中，歷史上的數學家們是怎樣推導的？最明顯的是洛必達使用換元法進行推導也比較簡便和快捷。還有為什麼建立平面直角座標系要從兩定點的中垂線建立？還有雙曲線在日常生活中有那些應用，如冷卻塔的建造、廣州市的標誌性建築小蠻腰等，這些可以提升學生對雙曲線知識的認識。
如果每一節課，不論是概念課、定理課、還是習題課，都從知識內容的深度給學生講懂、讓學生站在知識體系的高度認識本節知識內容，同時在知識內容的廣度對推理過程的多種思路求解，這樣學生至少能學會課堂內容的80%就已經是優秀的了，這樣的課就比較優秀。為什麼我們的學生感覺數學知識比較難，很大部分的原因是老師對知識內容的消化不夠，導致學生也是對知識內容一知半解，做題就感覺比較困難了。
